{"id":2165,"date":"2015-07-13T15:16:44","date_gmt":"2015-07-13T13:16:44","guid":{"rendered":"http:\/\/www.sigterritoires.fr\/?p=2165"},"modified":"2015-07-19T19:17:29","modified_gmt":"2015-07-19T17:17:29","slug":"sig-et-aide-a-la-decision-6-bases-theoriques-2eme-partie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.sigterritoires.fr\/index.php\/sig-et-aide-a-la-decision-6-bases-theoriques-2eme-partie\/","title":{"rendered":"SIG et aide \u00e0 la d\u00e9cision (6): Bases th\u00e9oriques (2\u00e8me partie)"},"content":{"rendered":"

Cet article est la continuation directe de l’article SIG et aide \u00e0 la d\u00e9cision (5): Bases th\u00e9oriques (1\u00e8re partie)<\/a><\/p>\n

Exemple d\u2019agr\u00e9gation.<\/h2>\n

On consid\u00e8re l\u2019agr\u00e9gation du crit\u00e8re \u201cbathym\u00e9trie\u201d tel qu\u2019il est dans la figure 2 et un autre crit\u00e8re par exemple le substrat qu\u2019on d\u00e9finit selon une \u00e9chelle granulom\u00e9trique:<\/p>\n

\"repr\u00e9sentation<\/a>
Repr\u00e9sentation floue du crit\u00e8re substrat avec 5 degr\u00e9s de satisfaction<\/figcaption><\/figure>\n

<\/p>\n

On propose \u00e0 l\u2019utilisateur d\u2019\u00e9valuer trois situations<\/p>\n

1) \u00a0Comment classeriez-vous un site avec 30 m de profondeur et un fond de limons?<\/p>\n

oTr\u00e8s bon \u00a0 \u00a0 \u00a0 o Bon \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 o Assez bon \u00a0 \u00a0 \u00a0 o M\u00e9diocre \u00a0 \u00a0 \u00a0 o Tr\u00e8s mauvais<\/p>\n

2) \u00a0Comment classeriez-vous un site avec 17 m de profondeur et un fond de sable fin?<\/p>\n

oTr\u00e8s bon \u00a0 \u00a0 \u00a0 o Bon \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 o Assez bon \u00a0 \u00a0 \u00a0 o M\u00e9diocre \u00a0 \u00a0 \u00a0 o Tr\u00e8s mauvais<\/p>\n

3) \u00a0Comment classeriez-vous un site avec 17 m de profondeur et un fond de limons?<\/p>\n

oTr\u00e8s bon \u00a0 \u00a0 \u00a0 o Bon \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 o Assez bon \u00a0 \u00a0 \u00a0 o M\u00e9diocre \u00a0 \u00a0 \u00a0 o Tr\u00e8s mauvais<\/p>\n

La premi\u00e8re question correspond \u00e0 C1=E et C2= A, c\u2019est \u00e0 dire qu\u2019il propose une valeur tr\u00e8s mauvaise pour le premier crit\u00e8re (30m est au-del\u00e0 des 25m) et une valeur excellente pour le deuxi\u00e8me crit\u00e8re.<\/p>\n

La deuxi\u00e8me question correspond \u00e0 C1=C2= C, c\u2019est \u00e0 dire qu\u2019elle propose deux valeurs moyennes pour les deux crit\u00e8res.<\/p>\n

La troisi\u00e8me question correspond \u00e0 C1=C et C2= A, c\u2019est \u00e0 dire qu\u2019elle propose une valeur moyenne pour le premier crit\u00e8re et une valeur excellente pour le deuxi\u00e8me.<\/p>\n

Un utilisateur pourra r\u00e9pondre par exemple:<\/p>\n

1) \u00a0 tr\u00e8s mauvais (le crit\u00e8re de profondeur semble ici capital),
\n2) \u00a0 assez bon (une profondeur moyenne et un fond moyen repr\u00e9sentent un site moyen)
\n3) \u00a0 assez bon ( pour cet utilisateur le crit\u00e8re de profondeur est plus important. Malgr\u00e9 le fait que le substrat soit tr\u00e8s bon, le fait d\u2019avoir une profondeur moyenne fait consid\u00e9rer le site comme moyen).<\/p>\n

On a donc R1=E, R2=C, R3= 0, ce qui correspond \u00e0 la troisi\u00e8me ligne de la table des op\u00e9rations d’agr\u00e9gation o\u00f9 l’on trouve comme op\u00e9ration : min(u,v<\/em>)<\/p>\n

u<\/em><\/strong> est la valeur du pixel sur la couche \u00ab\u00a0bathym\u00e9trie[0 , 1]\u00a0\u00bb, v<\/em><\/strong> est la valeur du pixel sur la couche \u00ab\u00a0substrat[0,1], c’est \u00e0 dire que l’on a class\u00e9 les pixels avec des valeurs entre 0 et 1 selon les crit\u00e8res d\u00e9finis dans les figures 1 et 3.<\/p>\n

L’op\u00e9ration d\u2019agr\u00e9gation est donc de garder pour chaque pixel la valeur minimum de u<\/em><\/strong> et v<\/em><\/strong> Ceci correspond dans un logiciel de traitement d’image \u00e0 la fonction de Overlaying avec cr\u00e9ation d’une couche composite avec les valeurs minimum des deux couches.<\/p>\n

Un autre utilisateur pourra r\u00e9pondre, par exemple :<\/p>\n

    \n
  1. tr\u00e8s mauvais<\/li>\n
  2. assez bon<\/li>\n
  3. bon<\/li>\n<\/ol>\n

    Pour cet utilisateur les crit\u00e8res sont \u00e0 peu pr\u00e8s \u00e9quivalents \u00e0 partir d’un certain seuil moyen, ce qui fait que pour la troisi\u00e8me question son \u00e9valuation se situe \u00e0 mi-chemin des deux crit\u00e8res partiels.<\/p>\n

    On a donc R1=E, R2= C, R3=B, ce qui correspond \u00e0 la quatri\u00e8me ligne de la table des op\u00e9rations d’agr\u00e9gation o\u00f9 l’on trouve deux op\u00e9rations possibles: \"u30\"<\/a>\u00a0 ou bien \"u31\"<\/a>\u00a0 .<\/p>\n

    Si l\u2019on d\u00e9sire affiner le calcul, une quatri\u00e8me question serait n\u00e9cessaire pour d\u00e9partager le mode de calcul. Dans la plupart des cas on peut prendre indiff\u00e9remment l’une ou l’autre car les r\u00e9sultats sont tr\u00e8s rapproch\u00e9s.<\/p>\n

    2: Crit\u00e8res d\u2019importance in\u00e9gale<\/h2>\n

    Deux crit\u00e8res ont la m\u00eame importance si la fonction d’agr\u00e9gation est sym\u00e9trique, c’est \u00e0 dire si la r\u00e9ponse aux trois questions d’\u00e9valuation est la m\u00eame si l’on inverse l’ordre des crit\u00e8res.
    \nPar exemple, pour les crit\u00e8res bathym\u00e9trie et substrat on peut construira la premi\u00e8re question de deux fa\u00e7ons:<\/p>\n

    a) une bathym\u00e9trie totalement incompatible (E) et un substrat compl\u00e8tement compatible (A) si on prend C1=bathym\u00e9trie et C2= substrat, ou alors<\/p>\n

    b) un substrat compl\u00e8tement incompatible (E) et une bathym\u00e9trie compl\u00e8tement compatible (A) si on prend C1=substrat et C2= bathym\u00e9trie.<\/p>\n

    Si les deux crit\u00e8res ont la m\u00eame importance, la r\u00e9ponse \u00e0 cette question sera la m\u00eame dans les deux cas. Ce qui appara\u00eetra au travers de cette r\u00e9ponse c’est la mani\u00e8re subjective d’agr\u00e9gation des deux crit\u00e8res (conjonction ou disjonction) ou le m\u00e9canisme sous-jacent de compromis que le d\u00e9cideur utilise.
    \nPar contre, si un des deux crit\u00e8res a une importance plus grande que l\u2019autre, la sym\u00e9trie ne se v\u00e9rifiera pas. Par exemple si la bathym\u00e9trie est plus importante aux yeux du d\u00e9cideur que le substrat, il pourra r\u00e9pondre m\u00e9diocre (D) dans le premier cas et bon (B) dans le deuxi\u00e8me. Dans ce cas, la table d\u2019op\u00e9rations d\u2019agr\u00e9gation n\u2019est plus valable.<\/p>\n

    Le concept d\u2019importance d\u2019un crit\u00e8re par rapport \u00e0 un autre a \u00e9t\u00e9 fort peu \u00e9lucid\u00e9 jusqu\u2019\u00e0 pr\u00e9sent. Le sens que l\u2019on donne \u00e0 ce mot est tr\u00e8s variable selon les d\u00e9cideurs ou selon les situations.
    \nContrairement \u00e0 l\u2019agr\u00e9gation de crit\u00e8res d\u2019\u00e9gale importance, pour lesquels on trouve les d\u00e9veloppements des calculs dans la litt\u00e9rature, il faudra d\u00e9velopper une m\u00e9thode pour traiter l\u2019agr\u00e9gation de crit\u00e8res d\u2019importance in\u00e9gale.
    \nLimites du probl\u00e8me.<\/p>\n

    Il ne faut pas confondre l\u2019importance in\u00e9gale avec le seuil de discrimination d\u2019un crit\u00e8re.
    \nPar seuil de discrimination on entendra la relation entre l\u2019intervalle correspondant \u00e0 un crit\u00e8re et le domaine global de variation des valeurs.<\/p>\n

    \"us21\"<\/a><\/p>\n

    Par exemple, si les profondeurs varient entre 0 et 30 m, fixer comme crit\u00e8re le nombre flou (4, 10, 20, 26) est moins s\u00e9lectif que (11,12,14,15). On observe que, g\u00e9n\u00e9ralement, plus un objectif est jug\u00e9 important par un d\u00e9cideur, plus il aura tendance \u00e0 d\u00e9finir des supports et des noyaux \u00e9troits et au contraire, moins il juge important un crit\u00e8re plus il aura tendance \u00e0 \u00e9tablir des bornes \u00e9loign\u00e9es.
    \nCeci est une mani\u00e8re de traduire une certaine id\u00e9e d\u2019importance des crit\u00e8res, mais elle reste dans le domaine de ce que nous appelons des crit\u00e8res d\u2019\u00e9gale importance.<\/p>\n

    Une autre forme tr\u00e8s r\u00e9pandue pour exprimer l\u2019importance in\u00e9gale des crit\u00e8res est la pond\u00e9ration des objectifs : on affecte un poids \u00e0 chaque objectif et on int\u00e8gre ce poids \u00e0 l\u2019op\u00e9ration d\u2019agr\u00e9gation.
    \nCette m\u00e9thode \u00e0 l\u2019inconv\u00e9nient de ne pas pouvoir s\u2019appliquer \u00e0 autre chose que des nombres, et que l’\u00e9valuation, \u00e0 priori, des poids est probl\u00e9matique.<\/p>\n

    Enonc\u00e9 du probl\u00e8me<\/h2>\n

    Comment enrichir la liste des Questions SI, S2, S3 avec le nombre le plus petit de nouvelles questions pour d\u00e9terminer :<\/p>\n

    a) si la fonction d’agr\u00e9gation est sym\u00e9trique ou non, et par cons\u00e9quent si on peut utiliser la table d’op\u00e9rations d’agr\u00e9gation d’objectifs d’\u00e9gale importance;<\/p>\n

    b) si la fonction n’est pas sym\u00e9trique, quel est le poids relatif de chaque crit\u00e8re C1 et C2?
    \nSolution propos\u00e9e.<\/p>\n

    Nous avons S1(E,A), S2(C,C), S3(C,A). On propose d’ajouter S4(A,E), c’est \u00e0 dire la question sym\u00e9trique \u00e0 S1 comportant une proposition totalement compatible avec le crit\u00e8re C1 et une autre totalement incompatible avec le crit\u00e8re C2.<\/p>\n

    Toutes les r\u00e9ponses formant un doublet S1 ,S4 (AA,BB,CC,DD,EE) renvoient au traitement de crit\u00e8res d’\u00e9gale importance.<\/p>\n

    Les doublets (A,E) et (E,A) correspondent \u00e0 un cas particulier o\u00f9 le poids d’un crit\u00e8re est \u00e9gal \u00e0 0, l’agr\u00e9gation n’est pas n\u00e9cessaire car le r\u00e9sultat est \u00e9gal \u00e0 C1 dans le cas de (A,E), ou \u00e0 C2 dans le cas de (E,A).
    \nPour les autres doublets possibles il est n\u00e9cessaire de d\u00e9terminer quelle op\u00e9ration d’agr\u00e9gation peut-on utiliser, avant de d\u00e9terminer les poids \u00e0 appliquer.<\/p>\n

    Parmi les op\u00e9rations d’agr\u00e9gation, min, max et les sommes sym\u00e9triques ne peuvent s’appliquer que sur des crit\u00e8res sym\u00e9triques, et donc elles doivent \u00eatre \u00e9limin\u00e9es d’office.<\/p>\n

    Parmi les op\u00e9rations de moyenne, seule la moyenne arithm\u00e9tique peut donner un r\u00e9sultat diff\u00e9rent de 0 dans le cas o\u00f9 l’un des crit\u00e8res est 0 (\u221axy = 0 et 2xy\/(x+y)=0 si x=0 ou y=0).<\/p>\n

    On retiendra donc la moyenne arithm\u00e9tique comme op\u00e9ration d’agr\u00e9gation sous la forme<\/p>\n

    (Px.x+Py.y)\/(Px+Py )<\/p>\n

    Px et Py \u00e9tant les poids respectifs des crit\u00e8res C1 et C2.<\/p>\n

    Dans le cas des doublets (D,B) et (B,D) il est facile de d\u00e9montrer que les poids doivent \u00eatre 3 et 1 pour (D,B) et 1 et 3 pour (B.D).<\/p>\n

    Il n\u2019y a pas d\u2019autres doublets possibles (DC,DA,…) si Px et Py sont constants. Les autres doublets supposent que Px=f(x) et Py =f(y).
    \nOn peut conclure que la pond\u00e9ration des objectifs n\u2019est n\u00e9cessaire que pour un nombre de classes sup\u00e9rieur \u00e0 trois, et ne peut s\u2019appliquer par exemple \u00e0 un crit\u00e8re qui serait: bon, moyen, mauvais. Dans ce cas on serait toujours dans le domaine d\u2019une fonction sym\u00e9trique.<\/p>\n

    Dans le cas de n=5 , comme c\u2019est le cas de la table 1, seul le facteur de pond\u00e9ration 3 – 1 est utilisable, si l\u2019on se tient \u00e0 un raisonnement proche de l\u2019attitude d\u2019un d\u00e9cideur.<\/p>\n

    T\u00e9l\u00e9chargement des bases th\u00e9oriques<\/h2>\n

    Ce document contient les deux articles sur les bases th\u00e9oriques du traitement des informations g\u00e9ographiques avec la logique floue.<\/p>\n\n\n