{"id":3729,"date":"2017-01-12T09:15:31","date_gmt":"2017-01-12T08:15:31","guid":{"rendered":"http:\/\/www.sigterritoires.fr\/?p=3729"},"modified":"2017-01-12T21:01:44","modified_gmt":"2017-01-12T20:01:44","slug":"introduction-a-lanalyse-exploratoire-des-donnees-pour-la-geostatistique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.sigterritoires.fr\/index.php\/introduction-a-lanalyse-exploratoire-des-donnees-pour-la-geostatistique\/","title":{"rendered":"Introduction \u00e0 l’analyse exploratoire des donn\u00e9es pour la g\u00e9ostatistique"},"content":{"rendered":"

Voici une petite s\u00e9rie d’articles motiv\u00e9s par une question un peu vaste d’un \u00e9tudiant qui utilise Geostatistical Analyst d’ArcGis : comment interpr\u00e9ter le QQplot, trend analyst et la variogramme?. Que ce soit avec Geostatistical Analyst ou tout autre outil de g\u00e9ostatistique, on est cens\u00e9s commencer, avant toute interpolation , par l’analyse exploratoire des donn\u00e9es. Pourquoi? Tout simplement parce que les outils de g\u00e9ostatistiques assument un certain nombre de caract\u00e9ristiques des donn\u00e9es et que si ces assomptions ne s’appliquent pas \u00e0 notre jeu de donn\u00e9es, nos r\u00e9sultats seront faux. Nous verrons donc ici sur quels principes s’appuient les outils g\u00e9ostatistiques et comment utiliser les outils d’analyse exploratoire pour corroborer les hypoth\u00e8ses n\u00e9cessaires.<\/p>\n

\u00a0Quelques principes de la g\u00e9otatistique<\/h2>\n
Voyons tout d’abord les bases de la g\u00e9ostatistique. Contrairement aux approches d’interpolation d\u00e9terministes, la g\u00e9ostatistique suppose que toutes les valeurs \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de votre zone d’\u00e9tude sont le r\u00e9sultat d’un processus al\u00e9atoire. Un processus al\u00e9atoire ne signifie pas que tous les \u00e9v\u00e9nements sont ind\u00e9pendants.<\/p>\n

La g\u00e9ostatistique est bas\u00e9e sur des processus al\u00e9atoires avec d\u00e9pendance.<\/h4>\n
Un tel type de processus est, par exemple, le lancer en l’air de trois pi\u00e8ces de monnaie. On observe si elles sont des piles ou des faces. La quatri\u00e8me pi\u00e8ce ne sera pas lanc\u00e9e.<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>La r\u00e8gle pour d\u00e9terminer le r\u00e9sultat du lancer de la quatri\u00e8me pi\u00e8ce est :<\/p>\n
\n
si la deuxi\u00e8me et la troisi\u00e8me pi\u00e8ce sont \u00e9gales, le r\u00e9sultat du lancer de la quatri\u00e8me pi\u00e8ce de monnaie est le m\u00eame que la premi\u00e8re;<\/li>\n
si non, le r\u00e9sultat du lancer de la quatri\u00e8me pi\u00e8ce de monnaie sera l’oppos\u00e9 \u00e0 celui de la la premi\u00e8re.<\/li>\n<\/ul>\n
Dans un contexte spatial ou temporel, une telle d\u00e9pendance est appel\u00e9e autocorr\u00e9lation.<\/p>\n
Comme ceci est la notion \u00e0 la base de toute la g\u00e9ostatistique, il vaut mieux s’attarder un peu. Le lancer d’une pi\u00e8ce est le symbole du hasard. On va donc l’appeler un \u00ab\u00a0processus al\u00e9atoire\u00a0\u00bb. Jusque l\u00e0, rien de nouveau.<\/p>\n
D’un autre c\u00f4t\u00e9, si on lance la pi\u00e8ce en l’air 100 fois, on s’attend \u00e0 avoir autant de fois pile que face<\/a>. Et \u00e7a, \u00e7a ne vous choque pas non plus. Si on a lanc\u00e9 la pi\u00e8ce 99 fois et qu’on a obtenu 50 piles et 49 faces, qu’est-ce que vous pr\u00e9diriez pour le 100 lancer?<\/p>\n
Si vous dites face, vous faites de la g\u00e9ostatistique. Vous savez que le lancer est un processus al\u00e9atoire, mais vous \u00eates aussi convaincu qu’il y a une certaine d\u00e9pendance des r\u00e9sultats par rapport \u00e0 un mod\u00e8le th\u00e9orique (sur un grand nombre de lancers il y aura 50% de piles et 50% de faces).<\/p>\n
Pourtant il y a autan de chances de pr\u00e9voir le centi\u00e8me lancer que le premier (1 chance sur deux). Voil\u00e0 pourquoi comprendre la g\u00e9ostatistique n’est pas si simple.<\/p>\n
Laissons maintenant nos pi\u00e8ces et prenons un exemple un peu plus g\u00e9ographique. Si on tire au hasard une paire de coordonn\u00e9es XY dans le monde, quelle chance auriez vous de trouver son altitude ?<\/p>\n
Si maintenant je vous dis que l’on suit un trajet GPS, en vous donnant les altitudes des points toutes les 50m. Quelles sont vos chances de trouver l’altitude du prochain point?<\/p>\n
C’est comme pour les pi\u00e8ces: en th\u00e9orie vos chances sont les m\u00eames dans les deux cas, mais en pratique, si vous analysez la suite des points GPS vous pourrez pr\u00e9dire \u00e0 peu de chose pr\u00e8s l’altitude du prochain point.<\/p>\n
Pr\u00e9vision de processus al\u00e9atoires avec d\u00e9pendance<\/h3>\n
Comment tout cela se rapporte-t-il \u00e0 la g\u00e9ostatistique et \u00e0 la pr\u00e9vision des valeurs non mesur\u00e9es? Dans l’exemple des pi\u00e8ces, les r\u00e8gles de d\u00e9pendance ont \u00e9t\u00e9 donn\u00e9es, dans celui du GPS il faut les trouver. Dans la r\u00e9alit\u00e9, les r\u00e8gles de d\u00e9pendance sont toujours inconnues. En g\u00e9ostatistique, il y a donc deux t\u00e2ches principales: (1) d\u00e9couvrir les r\u00e8gles de d\u00e9pendance et (2) faire des pr\u00e9dictions. Comme vous pouvez le voir \u00e0 partir des exemples, les pr\u00e9dictions ne peuvent \u00eatre faites que si l’on connait les r\u00e8gles de d\u00e9pendance.
\nLe krigeage repose sur ces deux t\u00e2ches: (1) l’analyse des semi-vectoriogramme et de covariance (autocorr\u00e9lation spatiale) et (2) la pr\u00e9diction des valeurs inconnues. En raison de ces deux t\u00e2ches distinctes, il a \u00e9t\u00e9 dit que la g\u00e9ostatistique utilise les donn\u00e9es deux fois: d’abord pour estimer l’autocorr\u00e9lation spatiale et la seconde pour faire les pr\u00e9dictions<\/p>\n
Comprendre la stationnarit\u00e9<\/h3>\n
Consid\u00e9rons \u00e0 nouveau l’exemple des pi\u00e8ces. Il y a une seule r\u00e8gle de d\u00e9pendance pour les lancers des pi\u00e8ces. Avec ce seul ensemble de valeurs mesur\u00e9es, il n’y a aucun espoir de conna\u00eetre les r\u00e8gles de d\u00e9pendance si elle ne sont pas explicit\u00e9es par quelqu’un. Toutefois, gr\u00e2ce \u00e0 des observations continues de nombreux \u00e9chantillons (nos points GPS), les d\u00e9pendances peuvent devenir \u00e9videntes. En g\u00e9n\u00e9ral, les statistiques s’appuient sur une notion de r\u00e9plication, de r\u00e9p\u00e9tition, \u00e0 partit de laquelle on peut penser que l’on peut faire des estimations\u00a0 et que la variabilit\u00e9 et l’incertitude de l’estimation peuvent \u00eatre comprises \u00e0 partir de s\u00e9ries d’observations r\u00e9p\u00e9t\u00e9es.
\nDans un contexte spatial, l’id\u00e9e de stationnarit\u00e9<\/strong> <\/em>est utilis\u00e9e pour obtenir la r\u00e9plication n\u00e9cessaire. La stationnarit\u00e9 est une hypoth\u00e8se qui est souvent raisonnable pour les donn\u00e9es spatiales. Il existe deux types de stationnarit\u00e9.
\nL’une est appel\u00e9e stationnarit\u00e9 de la moyenne<\/strong><\/em>.On suppose ici que la moyenne est constante entre les \u00e9chantillons et qu’elle est ind\u00e9pendante de l’emplacement des \u00e9chantillons.
\nLe second type de stationnarit\u00e9 est appel\u00e9 stationnarit\u00e9 de second ordre<\/strong><\/em> pour la covariance et stationnarit\u00e9 intrins\u00e8que<\/strong><\/em> pour les semi-variogrammes.<\/p>\n
La stationnarit\u00e9 de second ordre est l’hypoth\u00e8se selon quoi, la covariance est la m\u00eame entre deux points quelconques s’ils sont \u00e0 la m\u00eame distance et dans la m\u00eame direction, ind\u00e9pendamment des points que vous choisissez. La covariance d\u00e9pendra de la distance entre deux valeurs quelconques et non de leur emplacement.<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>Dans le sch\u00e9ma ci-dessus, la covariance entre les paires de points reli\u00e9s par le trait noir, est assum\u00e9e \u00eatre la m\u00eame.<\/p>\n
Que tout ceci est clair en thermes statistiques. Mais comme vous n’\u00eates pas oblig\u00e9 d’\u00eatre un statisticien, traduisons ceci en fran\u00e7ais dans le texte.<\/p>\n
Ici nous avons des points A et des points B reli\u00e9s par les traits noirs. La covariance est une mesure de comment varient deux variables. Peu importe la formule de calcul, dans cet exemple c’est une mesure de la diff\u00e9rence de hauteur de A et B par rapport \u00e0 la hauteur moyenne du terrain. Si les valeurs de A \u00e9taient compl\u00e8tement ind\u00e9pendantes de B, la covariance serait nulle (0). Si elle n’est pas nulle, on peut penser qu’il y a un lien entre les deux variables A et B. Si on prend des points s\u00e9par\u00e9s par une m\u00eame distance, pour qu’on puisse dire que la stationnarit\u00e9 de second ordre est respect\u00e9e, il faut que la covariance de tous ces paires de points soient sensiblement \u00e9gales.<\/p>\n
Dans le sch\u00e9ma ci-dessus \u00e7a semble bien \u00eatre le cas.<\/p>\n
Dans celui qui suit, est-ce que vous pensez que c’est aussi le cas?<\/p>\n
<\/a>Et bien, oui. M\u00eame si les diff\u00e9rences de valeur entre les paires situ\u00e9es dans le replat et dans les zones \u00e0 forte pente sont tr\u00e8s diff\u00e9rents, la covariance mesure la diff\u00e9rence entre la hauteur de A et la moyenne des points A et la hauteur de B et la moyenne des points B. Elle sera sensiblement la m\u00eame quelle qu’elle soit la pente.<\/p>\n
Par contre, dans le sch\u00e9ma suivant<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>La covariance des paires rouges sera diff\u00e9rente de celle des paires bleues. Si on prend que les paires bleues, la stationnarit\u00e9 de second ordre est respect\u00e9e, si on prend l’ensemble des paires, elle ne l’est pas.<\/p>\n
Pour les semi-variogrammes, on applique ce m\u00eame principe \u00e0 la variance. La stationnarit\u00e9 intrins\u00e8que est l’hypoth\u00e8se que la variance de la diff\u00e9rence des valeur observ\u00e9es est la m\u00eame entre deux points quelconques s’ils sont \u00e0 la m\u00eame distance et dans la m\u00eame direction, peu importe les deux points que vous choisissez.<\/p>\n
La stationnarit\u00e9 de second ordre et intrins\u00e8que sont des hypoth\u00e8ses n\u00e9cessaires pour obtenir la r\u00e9plication n\u00e9cessaire, et donc pour estimer les r\u00e8gles de d\u00e9pendance, ce qui nous permet de faire des pr\u00e9dictions et d’\u00e9valuer l’incertitude dans les pr\u00e9dictions. Notez que c’est l’information spatiale (distance similaire entre deux points quelconques) qui fournit la r\u00e9plication.<\/p>\n
La notion de distance sera tout le temps pr\u00e9sente dans l’analyse g\u00e9ostatistique. Pour l’instant disons simplement que nous utiliserons une notion de sens commun: plus deux points sont proches, plus ils auront tendance \u00e0 avoir des valeurs similaires, plus il y aura un lien entre eux.<\/p>\n
Par contre plus on s’\u00e9loignera, moins ce lien sera visible. Jusqu’\u00e0 ce que les valeurs des deux points soient compl\u00e9tement ind\u00e9pendantes.<\/p>\n
Nous voila donc avec une s\u00e9rie d’hypoth\u00e8ses sur nos donn\u00e9es qui vont nous permettre d’utiliser les outils g\u00e9ostatistiques pour pr\u00e9voir les valeurs l\u00e0 o\u00f9 nous n’avons pas de donn\u00e9es.<\/p>\n
Mais, qu’est-ce qu’il arriverait si nos hypoth\u00e8ses sot fausses? Tout simplement que nos pr\u00e9dictions seraient fausses aussi. Il faut donc v\u00e9rifier, AVANT d’utiliser les outils g\u00e9ostatistiques, que les hypoth\u00e8ses de base utilis\u00e9es par ces outils sont bien remplies. C’est cette \u00e9tape qu’on d\u00e9nomme Analyse Exploratoire des Donn\u00e9es Spatialis\u00e9es (AEDS)<\/strong>.<\/p>\n
L’analyse exploratoire des donn\u00e9es spatialis\u00e9es (AEDS)<\/h2>\n
L’analyse exploratoire des donn\u00e9es spatiales vous permet d’examiner vos donn\u00e9es de diff\u00e9rentes fa\u00e7ons. Avant de cr\u00e9er une surface, l’AEDS vous permet d’acqu\u00e9rir une compr\u00e9hension plus profonde des ph\u00e9nom\u00e8nes que vous \u00e9tudiez afin que vous puissiez prendre de meilleures d\u00e9cisions sur les questions relatives \u00e0 vos donn\u00e9es.<\/p>\n
Nota pour les utilisateurs d’ArcGis Geostatistical Analyst:<\/em><\/p>\n
Dans ArcGis, l'environnement de l'AEDS se compose d'une s\u00e9rie d'outils, chacun permettant une vue particuli\u00e8re des donn\u00e9es. Chaque vue peut \u00eatre manipul\u00e9e et explor\u00e9e, permettant diff\u00e9rents points de vue sur les donn\u00e9es. Chaque vue est interconnect\u00e9e avec toutes les autres vues ainsi qu'avec ArcMap. C'est-\u00e0-dire que si une barre est s\u00e9lectionn\u00e9e dans l'histogramme, les points de la barre sont \u00e9galement s\u00e9lectionn\u00e9s sur QQPlot (si ouvert), sur toute autre vue de l'AEDS ouverte et sur la carte ArcMap.\r\n\r\nChaque outil AEDS vous permet d'examiner vos donn\u00e9es sous diff\u00e9rentes vues. Chaque vue est affich\u00e9e dans une fen\u00eatre s\u00e9par\u00e9e et interagit enti\u00e8rement avec l'affichage ArcMap ainsi qu'avec d'autres fen\u00eatres AEDS. Les outils disponibles sont Histogramme, Carte de Voronoi, QQPlot Normal, Analyse de Tendance, Nuage de Semivariogramme \/ Covariance, QQPlot G\u00e9n\u00e9ral et Nuage de Crosscovariance<\/pre>\n
Nota pour les autres :<\/em><\/p>\n
Que ce soit dans QGis ou dans d'autres logiciels de SIG<\/a>, m\u00eame si les outils ne sont pas empaquet\u00e9s comme dans l'application Geostatistical Analyst, vous disposez des m\u00eames outils d'analyse exploratoire. Tout ce qui sera dit ici est valable, quel qu'il soit l'outil informatique que vous utiliserez.<\/pre>\n
L’exploration de la distribution des donn\u00e9es, la recherche de valeurs aberrantes globales et locales, la recherche de tendances globales, l’examen de l’autocorr\u00e9lation spatiale et la compr\u00e9hension de la covariance entre plusieurs ensembles de donn\u00e9es sont autant de t\u00e2ches utiles, voir indispensables,\u00e0 effectuer sur vos donn\u00e9es. Cet ensemble d’analyses compose l’AEDS.<\/p>\n
Dans le prochain article nous verrons l’utilisation des histogrammes dans le cadre de l’AEDS.<\/p>\n
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