{"id":3753,"date":"2017-01-16T08:24:06","date_gmt":"2017-01-16T07:24:06","guid":{"rendered":"http:\/\/www.sigterritoires.fr\/?p=3753"},"modified":"2017-01-24T19:25:37","modified_gmt":"2017-01-24T18:25:37","slug":"analyse-exploratoire-des-donnees-pour-la-geostatistiqueles-qq-plot","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.sigterritoires.fr\/index.php\/analyse-exploratoire-des-donnees-pour-la-geostatistiqueles-qq-plot\/","title":{"rendered":"Analyse exploratoire des donn\u00e9es pour la g\u00e9ostatistique:les QQ-plot"},"content":{"rendered":"

Apr\u00e8s l\u2019article Introduction \u00e0 l\u2019analyse exploratoire des donn\u00e9es pour la g\u00e9ostatistique<\/a> , nous\u00a0 abordons chacun des outils disponibles pour r\u00e9aliser l\u2019analyse exploratoire des donn\u00e9es spatialis\u00e9es. Nous avons vu les histogrammes<\/a>, nous verrons maintenant les QQ-Plots.<\/p>\n

Les QQ-Plots (ou diagrammes Quantile-Quantile) sont des graphiques dans lesquels les quantiles de deux distributions sont trac\u00e9s l’un par rapport \u00e0 l’autre.<\/p>\n

Construction d’un QQ-Plot normal<\/h2>\n
On appelle QQ-Plot normal<\/strong><\/em> le diagramme qui permet de comparer la distribution des donn\u00e9es d’un lot \u00e0 la distribution dite normale <\/strong><\/em>ou gaussienne<\/strong><\/em>. Voici un exemple.<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>Comment est-il construit?<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>A –<\/span><\/strong> Le lot de donn\u00e9es \u00e0 traiter est ordonn\u00e9 par valeur, de la plus petite \u00e0 la plus grande, puis on calcule pour chaque valeur le pourcentage de valeurs inf\u00e9rieures. On trace les points avec en abscisse les valeurs du lot et en ordonn\u00e9es les pourcentages. Dans cet exemple pour la valeur 2 dans nos donn\u00e9es on a 21% (0,21) de valeurs inf\u00e9rieures pr\u00e9sentes dans le lot (et donc 79% de valeurs sup\u00e9rieures \u00e0 2).<\/p>\n
B-<\/span> <\/strong>On trace la fonction gaussienne avec en abscisse les \u00e9carts-type et en ordonn\u00e9es le pourcentage de fr\u00e9quence inf\u00e9rieure \u00e0 cette valeur. Pour une fr\u00e9quence de 21% (0,21) l’\u00e9cart-type est de -0.85.<\/p>\n
C-<\/span><\/strong>On r\u00e9alise le QQ-Plot :<\/p>\n
\n
pour chaque donn\u00e9e on prend sa valeur (DV),<\/li>\n
on cherche le pourcentage du graphique A,<\/li>\n
avec ce pourcentage, on passe au\u00a0 graphique B et on obtient la valeur d’\u00e9cart-type (NV) correspondante,<\/li>\n
on trace le point en utilisant NV en abscisse et DV en orodnn\u00e9es.<\/li>\n<\/ul>\n
La droite du QQ-Plot indique la position que devraient avoir les points s’ils ob\u00e9issaient exactement \u00e0 la distribution normale.<\/p>\n
Construction d’un QQPlot g\u00e9n\u00e9ral<\/span><\/h2>\n
Le QQ-Plot g\u00e9n\u00e9ral<\/strong><\/em> est utilis\u00e9 pour \u00e9valuer la similarit\u00e9 des distributions de deux ensembles de donn\u00e9es.<\/span><\/p>\n
$\"\"$ <\/a>Ici nous avons deux variables : Depth et Distance<\/p>\n
Comment est-il construit?<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>A –<\/span><\/strong> Comme pour le QQ-Plot normal, le premier\u00a0 lot de donn\u00e9es \u00e0 traiter est ordonn\u00e9 par valeur, de la plus petite \u00e0 la plus grande, puis on calcule pour chaque valeur le pourcentage de valeurs inf\u00e9rieures. On trace les points avec en ordonn\u00e9es les valeurs du lot et en abscisse les pourcentages. Dans cet exemple pour la valeur 2 dans nos donn\u00e9es on a 21% (0,21) de valeurs inf\u00e9rieures pr\u00e9sentes dans le lot.<\/p>\n
B –<\/span><\/strong> Le deuxi\u00e8me lot de donn\u00e9es est trait\u00e9 de la m\u00eame mani\u00e8re. Dans cet exemple pour la valeur 15 dans nos donn\u00e9es on a 37% (0,37) de valeurs inf\u00e9rieures pr\u00e9sentes dans le lot. Vous observerez qu’il n’y a pas de valeur dans le lot avec une fr\u00e9quence de 0,21 comme dans le premier lot de donn\u00e9es.<\/p>\n
C-<\/span><\/strong>On r\u00e9alise le QQ-Plot :<\/p>\n
\n
pour chaque donn\u00e9e du lot A on prend sa valeur (DV1),<\/li>\n
on cherche le pourcentage du graphique A,<\/li>\n
avec ce pourcentage, on passe au\u00a0 graphique B et on obtient la valeur du lot B correspondante (DV2), soit en la prenant directement si elle existe, soit en interpolant entre les deux valeurs qui l’englobent, comme dans l’exemple ci-dessus.<\/li>\n
on trace le point en utilisant DV2 en abscisse et DV1 en ordonn\u00e9es,<\/li>\n
pour chaque donn\u00e9e du lot B on prend sa valeur (DV2),<\/li>\n
on cherche le pourcentage du graphique B,<\/li>\n
avec ce pourcentage, on passe au\u00a0 graphique A et on obtient la valeur du lot A correspondante (DV1), soit en la prenant directement si elle existe, soit en interpolant entre les deux valeurs qui l’englobent, comme dans l’exemple ci-dessus.<\/li>\n
on trace le point en utilisant DV2 en abscisse et DV1 en ordonn\u00e9es.<\/li>\n<\/ul>\n
Contrairement au QQ-Plot normal, on ne peut pas tracer de droite th\u00e9orique car on ne connait pas la fonction de distribution des lots A et B. Par contre, si les deux distributions sont exactement les m\u00eames, les points seront align\u00e9s sur une droite. Dans l’exemple ci-dessus (Depth-Distance) ce n’est pas le cas.
\n<\/span><\/p>\n
L’exemple suivant c’est une correspondance parfaite (puisque c’est la m\u00eame variable):<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>Interpr\u00e9tation des QQ-Plots<\/h2>\n
On va r\u00e9p\u00e9ter ici ce que l’on a dit pour les histogrammes:<\/p>\n
\u00ab\u00a0Certaines m\u00e9thodes de krigeage fonctionnent mieux si les donn\u00e9es sont approximativement distribu\u00e9es normalement (la courbe en forme de cloche).<\/span>
\nEn particulier, les cartes de quantiles et de probabilit\u00e9 utilisant le krigeage ordinaire, simple et universel supposent que les donn\u00e9es proviennent d’une distribution normale.<\/span>
\nComme nous l’avons vu dans l’article pr\u00e9c\u00e9dent, le krigeage repose \u00e9galement sur l’hypoth\u00e8se de la stationnarit\u00e9.<\/span> Cette hypoth\u00e8se exige, en partie, que toutes les valeurs des donn\u00e9es proviennent de distributions qui ont la m\u00eame variabilit\u00e9.<\/span> Nous observons souvent dans la nature que, lorsque les valeurs augmentent, leur variabilit\u00e9 augmente.<\/span> Les transformations<\/strong> des donn\u00e9es source peuvent \u00eatre utilis\u00e9es pour rendre vos donn\u00e9es normalement distribu\u00e9es et satisfaire l’hypoth\u00e8se d’une variabilit\u00e9 \u00e9gale pour tout l’ensemble.<\/span><\/span>\u00ab\u00a0<\/em><\/p>\n
Nous allons donc rechercher les m\u00eames choses qu’avec les histogrammes, mais avec les QQ-Plot ce sera plus facile.<\/p>\n
Si nous prenons la variable Depth<\/strong><\/em>, utilis\u00e9e pour l’histogramme et nous tra\u00e7ons son QQ-Plot normal on a:<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>Nous avons trois zones distinctes:<\/p>\n
\n
A- Des points \u00e0 gauche de la droite th\u00e9orique, tr\u00e8s \u00e9loign\u00e9s de celle-ci<\/li>\n
B- Des points \u00e0 droite de la droite th\u00e9orique, puis<\/li>\n
C- Des points \u00e0 gauche , \u00e0 nouveau<\/li>\n<\/ul>\n
La forme g\u00e9n\u00e9rale peut \u00eatre assimil\u00e9e \u00e0 un S.<\/p>\n
Les informations que nous pouvons trouver \u00e0 parti de la forme g\u00e9n\u00e9rale de la courbe des points concernent essentiellement ce qui a trait aux coefficients de forme: l’\u00e9talement (skewness) et l\u2019aplatissement (kurtosis). De plus on peut tout de suite voir si nos donn\u00e9es suivent une courbe mono ou bi-modale.<\/p>\n
Observation de l’\u00e9talement<\/h3>\n
Tout d’abord, sur l’\u00e9talement (skewness<\/strong><\/em>).<\/p>\n
Nous avons trois grands types de distribution: normale, d\u00e9plac\u00e9e \u00e0 gauche (vers les petites valeurs de nos donn\u00e9es), d\u00e9plac\u00e9e \u00e0 droite (vers les grandes valeurs de nos donn\u00e9es).<\/p>\n
Pour retrouver rapidement quel est le type de notre distribution, regardez la zone du QQ-Plot correspondante au centre de notre distribution (Valeur 0 de l’\u00e9cart-type):<\/p>\n
Distribution non biais\u00e9e (normale):<\/h4>\n $\"distribution$ <\/a>Les points des donn\u00e9es correspondant au centre de la distribution sont sur (ou tr\u00e8s proches) de la droite th\u00e9orique.<\/p>\n
Distribution biais\u00e9e \u00e0 gauche:<\/h4>\n
$\"distribution$ <\/a>La zone de points autour de 0 \u00e9cart-type se trouve sensiblement en dessous de la droite th\u00e9orique.<\/p>\n
Distribution biais\u00e9e \u00e0 Droite:<\/h4>\n
$\"distribution$ <\/a>La zone de points autour de 0 \u00e9cart-type se trouve sensiblement au dessus de la droite th\u00e9orique.<\/p>\n
Observation de l’aplatissement<\/h3>\n
L’autre observation qu’on peut faire concerne le coefficient d’\u00e9talement (kurtosis).<\/p>\n
Kurtosis inf\u00e9rieur \u00e0 3<\/h4>\n
Les distributions avec des bords relativement fins (appel\u00e9es platykurtiques) et qui ont un kurtosis de valeur inf\u00e9rieure\u00a0 \u00e0 3, ont une forme g\u00e9n\u00e9rale en S, avec la partie n\u00e9gative des \u00e9carts-type en creux, et la partie positive en bosse:<\/p>\n
$\"kurtosis$ <\/a><\/p>\n
Kurtosis sup\u00e9rieur \u00e0 3<\/h4>\n
Les distributions avec des bords relativement \u00e9pais (appel\u00e9es leptokurtiques)\u00a0 et qui ont un kurtosis de valeur sup\u00e9rieure \u00e0 3,ont une forme g\u00e9n\u00e9rale en S invers\u00e9, avec la partie n\u00e9gative des \u00e9carts-type en bosse, et la partie positive en creux:<\/p>\n
$\"\"$ <\/a><\/h2>\n
Que faire?<\/h2>\n
A partir du QQ-plot normal nous pouvons faire deux choses: trouver une transformation qui ram\u00e8ne nos donn\u00e9es \u00e0 une loi normale (ou proche) et identifier les donn\u00e9es qui peuvent poser probl\u00e8me.<\/p>\n
Si nous reprenons le premier sch\u00e9ma de cet article, il est plus facile de trouver la transformation exponentielle (Box-Cox) avec le QQ-Plot qu’avec l’histogramme:<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>On voit mieux l’ad\u00e9quation \u00e0 la droite th\u00e9orique quand on modifie le param\u00e8tre de transformation.<\/p>\n
L’autre aspect int\u00e9ressant de Geostatistical Analyst est le lien qui existe entre les outils de diagramme, ici le QQ-plot et l’affichage dans ArcMap. Si vous utilisez l’outil de s\u00e9lection sur les points du QQ-Plot vous verrez les points s\u00e9lectionn\u00e9s sur la carte.<\/p>\n
Si on s\u00e9lectionne les points qui s’\u00e9cartent de la droite normale pour les grandes valeurs:<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>On s’aper\u00e7oit qu’ils sont tous dans la p\u00e9riph\u00e9rie de la zone d’\u00e9tude. Ils peuvent donc traduire un ph\u00e9nom\u00e8ne externe \u00e0 notre zone. On gardera \u00e7a \u00e0 l’esprit, par exemple, pour tester la qualit\u00e9 de l’interpolation finale avec ou sans ces points.<\/p>\n
Si on fait la m\u00eame chose pour les points s’\u00e9cartant dans les petites valeurs:<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>On voit que la distribution de ces points fait bien partie du ph\u00e9nom\u00e8ne intrins\u00e8que \u00e0 la zone d’\u00e9tude, ou que, en tout \u00e9tat de cause, il faudra bien les prendre en compte pour la mod\u00e9lisation de la fonction d’interpolation.<\/p>\n
Dans le prochain article nous verrons comment d\u00e9tecter les valeur aberrantes avec les polygones de Vorono\u00ef.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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