{"id":3789,"date":"2017-01-17T11:33:37","date_gmt":"2017-01-17T10:33:37","guid":{"rendered":"http:\/\/www.sigterritoires.fr\/?p=3789"},"modified":"2017-01-18T08:36:42","modified_gmt":"2017-01-18T07:36:42","slug":"analyse-exploratoire-des-donnees-pour-la-geostatistiqueles-diagrammes-de-voronoi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.sigterritoires.fr\/index.php\/analyse-exploratoire-des-donnees-pour-la-geostatistiqueles-diagrammes-de-voronoi\/","title":{"rendered":"Analyse exploratoire des donn\u00e9es pour la g\u00e9ostatistique:les diagrammes de Vorono\u00ef"},"content":{"rendered":"

Apr\u00e8s l\u2019article Introduction \u00e0 l\u2019analyse exploratoire des donn\u00e9es pour la g\u00e9ostatistique<\/a> , nous\u00a0 abordons chacun des outils disponibles pour r\u00e9aliser l\u2019analyse exploratoire des donn\u00e9es spatialis\u00e9es. Nous avons vu les histogrammes<\/a>,\u00a0 les QQ-Plots<\/a>, nous verrons maintenant les cartes de Vorono\u00ef.<\/p>\n

Il faut introduire ici une notion dont nous n’avons pas encore parl\u00e9 dans les articles pr\u00e9c\u00e9dents et qui concerne l’\u00e9tendue ou emprise d’un ph\u00e9nom\u00e8ne. En g\u00e9ostatistiques nous pouvons consid\u00e9rer deux types d’\u00e9tendue pour un ph\u00e9nom\u00e8ne: une \u00e9tendue GLOBALE ou une \u00e9tendue LOCALE.<\/p>\n

Ph\u00e9nom\u00e8nes globaux et locaux.<\/h2>\n
Nous parlons de ph\u00e9nom\u00e8ne global quand nous prenons comme rep\u00e8re la totalit\u00e9 des donn\u00e9es disponibles. Nous parlons de ph\u00e9nom\u00e8ne local quand nous prenons comme rep\u00e8re un point d\u2019\u00e9chantillonnage et ses points voisins.<\/p>\n
Un exemple simple, c’est quand on parle de valeurs aberrantes (outliers). Si on recherche des valeurs aberrantes globales, on cherchera des valeurs qui son en dehors de l’\u00e9tendue logique de nos donn\u00e9es. Par exemple si on a un lot de donn\u00e9es de temp\u00e9ratures de l’eau de mer, avec des valeurs qui sont comprises entre 2\u00b0C et 16\u00b0C, une valeur de -3\u00b0C ou une valeur de 35\u00b0C, nous apparaitront comme valeurs aberrantes globales<\/strong><\/em>. Supposons que nos mesures s’\u00e9talent sur toute une ann\u00e9e et que nous avons en hiver une s\u00e9rie de valeurs 2\u00b0C, 2.5\u00b0C, 11\u00b0C, 2.2\u00b0C, 2.5\u00b0C . La valeur 11\u00b0C n’est pas aberrante d’un point de vue global, car dans le cours de l’ann\u00e9e elle peut appara\u00eetre tr\u00e8s souvent. C’est le fait qu’elle soit au milieu de temp\u00e9ratures beaucoup plus basses et r\u00e9guli\u00e8res que peut nous faire d\u00e9duire que c’est une valeur aberrante locale<\/strong><\/em>.<\/p>\n
Les histogrammes et les QQ-plot que nous avons d\u00e9j\u00e0 abord\u00e9s, sont des outils globaux. Ils nous permettent de travailler et de comprendre les ph\u00e9nom\u00e8nes qui concernent l’ensemble de nos donn\u00e9es. Avec les cartes de Vorono\u00ef nous allons aborder des outils qui vont nous permettre de\u00a0 visualiser et de comprendre des ph\u00e9nom\u00e8nes locaux, c’est \u00e0 dire qu’ils ne concerneront qu’une partie de nos donn\u00e9es.<\/p>\n
Les cartes de Vorono\u00ef<\/h2>\n
Les cartes de Vorono\u00ef sont construites \u00e0 partir d’une s\u00e9rie de polygones form\u00e9s autour de l’emplacement de chaque point d’\u00e9chantillonnage.<\/p>\n
Les polygones de Vorono\u00ef sont cr\u00e9\u00e9s de sorte que chaque emplacement dans un polygone soitt plus proche du point d’\u00e9chantillonnage pr\u00e9sent dans ce polygone que de tout autre point d’\u00e9chantillonnage.<\/p>\n
$\"construction$ <\/a> Par exemple, dans cette figure , le point jaune est entour\u00e9 d’un polygone, affich\u00e9 en rouge. Chaque emplacement dans le polygone rouge est plus proche du point d’\u00e9chantillonnage jaune que de tout autre point d’\u00e9chantillonnage (points bleu fonc\u00e9).<\/p>\n
Apr\u00e8s la cr\u00e9ation des polygones, les voisins<\/strong> <\/em>d’un point d’\u00e9chantillonnage sont d\u00e9finis comme tout autre point d\u2019\u00e9chantillonnage dont le polygone partage une bordure avec le point d\u2019\u00e9chantillonnage choisi. Les polygones bleus partagent tous une bordure avec le polygone rouge, de sorte que les points d’\u00e9chantillonnage dans les polygones bleus sont voisins<\/strong> <\/em>du point d’\u00e9chantillonnage vert clair.<\/p>\n
En utilisant cette d\u00e9finition de voisinage, on peut calculer une vari\u00e9t\u00e9 de statistiques locales. Par exemple, une moyenne locale va \u00eatre calcul\u00e9e en prenant la moyenne des points d’\u00e9chantillonnage dans le polygone central et les polygones voisins (polygones rouge et bleus). Cette moyenne sera ensuite affect\u00e9e au polygone rouge. Apr\u00e8s r\u00e9p\u00e9tition pour tous les polygones et leurs voisins, une \u00e9chelle de couleurs montrera les valeurs relatives des moyennes locales, ce qui permet de visualiser des r\u00e9gions de valeurs fortes et faibles.<\/p>\n
$\"carte$ <\/a>En haut et \u00e0 droite, l’\u00e9chelle de couleurs indique les valeurs des moyennes calcul\u00e9es. On voit que le coin haut et droit poss\u00e8de les valeurs les plus faibles de l’ensemble et le coin bas et gauche les valeurs les plus fortes.<\/p>\n
Les diff\u00e9rentes cartes de Vorono\u00ef de Geostatistical Analyst<\/h2>\n
L’outil\u00a0 Carte de Voronoi de Geostatistical Analyst fournit un certain nombre de m\u00e9thodes pour attribuer ou calculer des valeurs aux polygones.<\/p>\n
Voyons d’abord la liste de possibilit\u00e9s et comment elles sont calcul\u00e9es. Nous verrons ensuite \u00e0 quoi chacune d’elles peut servir.<\/p>\n
Types de carte<\/h4>\n
Simple<\/strong>: La valeur attribu\u00e9e \u00e0 chaque polygone une cellule est la valeur du point d’\u00e9chantillonnage de ce polygone.<\/p>\n
Moyenne<\/strong>: La valeur attribu\u00e9e \u00e0 un polygone est la moyenne calcul\u00e9e \u00e0 partir de ce polygone et de ses voisins.<\/p>\n
Mode<\/strong>: Tous les polygones sont class\u00e9s en\u00a0 cinq intervalles de classe. La valeur attribu\u00e9e \u00e0 un polygone la valeur la plus pr\u00e9sente (mode) entre le polygone et ses voisins.<\/p>\n
Cluster<\/strong>: Tous les polygones sont class\u00e9s en cinq intervalles de classe en couleurs. Si l’intervalle de classe du polygone est diff\u00e9rent de tous ses voisins, la cellule est de couleur grise (pour la distinguer de ses voisins).<\/p>\n
Entropie<\/strong>: Tous les polygones sont class\u00e9s en cinq classes avec la m\u00e9thode smart quantiles<\/strong><\/em>, une variante de la m\u00e9thode des quantiles. L’entropie se calcule avec la formule<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>O\u00f9 pi est la proportions de polygones, parmi le polygone central et les polygones voisins, de chacune des cinq classes, et Log est le logarithme base 2.<\/p>\n
Comme ce n’est pas simple, voyons un exemple. Nous avons un polygone avec 5 polygones voisins. On applique la m\u00e9thode smart quantiles et on obtient 3 polygones de classe 1, 1 polygone de classe 3 et 2 polygones de classe 5.<\/p>\n
<\/p>\n
$\"\"$ <\/a>On aura donc une entropie<\/p>\n
**-[ 0.6 * \u00a0-0.736966\u00a0 + 0.2 * -2.321928\u00a0 + 0.4 \u00a0 -1.321928] = 1.4353<\/p>\n
Dans tous les cas on aura des valeurs allant de 0 \u00e0 2.322 .<\/p>\n
Si tous les polygones (polygone central et voisins) ont la m\u00eame classe l’entropie est z\u00e9ro ( 1 log2(1)).<\/p>\n
Si on trouve les cinq classes, chacune aura une proportion 0.2 est l’entropie r\u00e9sultante sera 2.322.<\/p>\n
M\u00e9diane<\/strong>: La valeur attribu\u00e9e \u00e0 une cellule est la valeur m\u00e9diane calcul\u00e9e \u00e0 partir de la distribution de fr\u00e9quence de la cellule et de ses voisins.<\/p>\n
\u00c9cart-type<\/strong>: La valeur attribu\u00e9e \u00e0 une cellule est l’\u00e9cart-type calcul\u00e9 \u00e0 partir de la cellule et de ses voisins.<\/p>\n
\u00c9cart interquartile<\/strong>: Le premier et le troisi\u00e8me quartiles sont calcul\u00e9s \u00e0 partir de la distribution de fr\u00e9quence d’un polygone\u00a0 et de ses voisins.
\nLa valeur attribu\u00e9e \u00e0 la cellule est calcul\u00e9e en soustrayant la valeur du premier quartile de la valeur du troisi\u00e8me quartile:<\/p>\n
\n
le 1er quartile est la donn\u00e9e de la s\u00e9rie qui s\u00e9pare les 25 % inf\u00e9rieurs des donn\u00e9es ;<\/li>\n
le 2e quartile est la donn\u00e9e de la s\u00e9rie qui s\u00e9pare la s\u00e9rie en deux parties (50%) de la s\u00e9rie ;<\/li>\n
le 3e quartile est la donn\u00e9e de la s\u00e9rie qui s\u00e9pare les 25 % sup\u00e9rieurs des donn\u00e9es.<\/li>\n<\/ul>\n
La diff\u00e9rence entre le troisi\u00e8me quartile et le premier quartile s’appelle \u00e9cart interquartile ; c’est un crit\u00e8re de dispersion de la s\u00e9rie. La dispersion repr\u00e9sente la variabilit\u00e9 ou l’\u00e9tendue des diff\u00e9rentes valeurs que peut prendre une variable. L’\u00e9cart interquartile correspond \u00e0 l’\u00e9tendue de la s\u00e9rie statistique apr\u00e8s \u00e9limination de 25 % des valeurs les plus faibles et de 25 % des valeurs les plus fortes. Cette mesure est plus robuste que l’\u00e9tendue (\u00e9tendue = $\"x_{{\\max$ ), qui est sensible aux valeurs extr\u00eames.<\/p>\n
Utilisations des diff\u00e9rents types de carte<\/h4>\n
Les diff\u00e9rentes statistiques de Vorono\u00ef sont utilis\u00e9es \u00e0 des fins diff\u00e9rentes.
\nLes statistiques peuvent \u00eatre regroup\u00e9es dans les cat\u00e9gories fonctionnelles g\u00e9n\u00e9rales suivantes:<\/p>\n
Outils de lissage locaux:<\/h5>\n
\n
carte de moyenne<\/li>\n
carte de mode<\/li>\n
carte de m\u00e9diane<\/li>\n<\/ul>\n
En calculant une des trois variables statistiques pour chaque point et ses voisins, la variation entre chaque polygone et ses voisins devient moins brutale. On obtient alors une carte plus liss\u00e9e de nos donn\u00e9es. Ceci est utile quand il y a une trop forte variation entre les points voisins ce qui a pour r\u00e9sultat sur la carte globale de masquer ou de rendre plus difficile de voir les ph\u00e9nom\u00e8nes globaux.<\/p>\n
$\"comparaison$ <\/a>La carte de gauche montre les polygones de Vorono\u00ef simples, c’est \u00e0 dire que chaque point est repr\u00e9sent\u00e9 par sa valeur r\u00e9elle. La carte de droite montre les polygones de Vorono\u00ef moyens. Chaque polygone a comme valeur la moyenne de sa valeur et des valeurs de ses voisins. Le bruit de fond du centre de la carte est \u00ab\u00a0liss\u00e9\u00a0\u00bb par l’utilisation de la moyenne.<\/p>\n
Outils de visualisation de la variabilit\u00e9 locale<\/h5>\n
\n
carte des \u00e9carts-type<\/li>\n
carte des \u00e9carts interquartiles<\/li>\n
carte d’entropie<\/li>\n<\/ul>\n
Si les outils de lissage (moyenne, mode, m\u00e9diane) sont des outils qui s’int\u00e9ressent \u00e0 ce que l’on peut appeler la tendance centrale<\/strong> d’une distribution, ces trois outils s’int\u00e9ressent \u00e0 la dispersion<\/strong> des distributions.<\/p>\n
Si on observe beaucoup de diff\u00e9rence entre les valeurs voisines, on dira que les valeurs ont un forte dispersion et une forte variabilit\u00e9.<\/p>\n
Par contre, la notion de \u00ab\u00a0beaucoup\u00a0\u00bb est une notion relative. Prenons la carte des \u00e9carts-type:<\/p>\n
$\"carte$ <\/a>L\u2019\u00e9chelle de couleurs est toujours la m\u00eame, quelle qu’elle soit la dispersion des valeurs. Pour interpr\u00e9ter compl\u00e8tement cette image, il faut savoir de quelles donn\u00e9es il s’agit et si une variabilit\u00e9 maximale\u00a0 de 4 \u00e0 13 est logique ou pas.<\/p>\n
Par contre ce que l’on peut tout de suite comprendre c’est que les zones claires sont les zones o\u00f9 la variabilit\u00e9 relative est basse et les zones plus fonc\u00e9es o\u00f9 la variabilit\u00e9 est tr\u00e8s forte.<\/p>\n
Prenons la carte des \u00e9carts interquartiles:<\/p>\n
$\"carte$ <\/a>Cette carte est une autre mesure de la dispersion. On prend les valeurs du point et de ses voisins, on \u00e9limine les 25% plus bas et plus haut, et on affiche la valeur min et max des points restants.<\/p>\n
En somme, on \u00e9limine les valeurs extr\u00eames et on affiche une \u00e9tendue de variation. Les zones fonc\u00e9es ont une variation entre 4 et 10.<\/p>\n
Si l’on sait maintenant que ces donn\u00e9es correspondent \u00e0 des profondeurs, on peut d\u00e9duire que les zones fonc\u00e9es des deux cartes pr\u00e9c\u00e9dentes correspondent aux zones de plus forte pente, c’est \u00e0 dire o\u00f9 les valeurs changent plus vite. Les zones claires correspondent \u00e0 des zones plut\u00f4t plates.<\/p>\n
L’interpr\u00e9tation de ces deux types de carte d\u00e9pendent de la connaissance des donn\u00e9es, car la variabilit\u00e9 sera toujours exprim\u00e9e en cinq classes, avec des bornes diff\u00e9rentes selon les donn\u00e9es. Par contre, la carte d’entropie ne se pr\u00e9sente pas de la m\u00eame mani\u00e8re. Elle a toujours 5 classes mais les bornes des classes ne d\u00e9pendent pas des donn\u00e9es trait\u00e9es. Elles sont fixes.<\/p>\n
$\"carte$ <\/a>Si tous les polygones (point plus voisins) se ressemblent, la valeur de l’entropie sera 0. Si tous les polygones sont diff\u00e9rents, la valeur est de 2.32.<\/p>\n**
Comme son nom l’indique, la carte d’entropie est une mesure de \u00ab\u00a0d\u00e9sordre\u00a0\u00bb. Si on trouve des zones \u00e0 forte entropie (ce n’est pas le cas dans notre carte exemple) un d\u00e9tour pour essayer de comprendre les raisons s’impose.<\/p>\n
Recherche de valeurs aberrantes (outliers)<\/h2>\n
Il est important d’identifier les valeurs aberrantes pour deux raisons: elles peuvent \u00eatre des anomalies r\u00e9elles du ph\u00e9nom\u00e8ne, ou la valeur peut avoir \u00e9t\u00e9 mesur\u00e9e ou enregistr\u00e9e incorrectement.
\nSi une aberration est une anomalie r\u00e9elle dans le ph\u00e9nom\u00e8ne, c’est peut-\u00eatre le point le plus important de l’\u00e9tude et de la compr\u00e9hension du ph\u00e9nom\u00e8ne. Par exemple, un \u00e9chantillon sur la veine d’un minerai pourrait appara\u00eetre comme une valeur aberrante, et c’est justement cet emplacement qui est l’objectif le plus important pour une soci\u00e9t\u00e9 mini\u00e8re.
\nSi des valeurs aberrantes sont caus\u00e9es par des erreurs lors de la saisie de donn\u00e9es ou par tout autre raison clairement incorrecte, elles doivent \u00eatre corrig\u00e9es ou supprim\u00e9es avant de cr\u00e9er une surface. Les valeurs aberrantes peuvent avoir plusieurs effets nuisibles sur votre surface interpol\u00e9e, en ayant des effets sur la mod\u00e9lisation du semi-variogramme et par son influence sur des valeurs voisines.<\/p>\n
Les cartes de Vorono\u00ef cr\u00e9\u00e9es \u00e0 l’aide des m\u00e9thodes cluster et entropie peuvent \u00eatre utilis\u00e9es pour aider \u00e0 identifier d’\u00e9ventuels valeurs aberrantes.
\nLes valeurs d’entropie fournissent une mesure de dissimilarit\u00e9 entre polygones voisins. Dans la nature, vous vous attendez \u00e0 ce que les choses plus rapproch\u00e9es soient plus\u00a0 semblables que des choses plus \u00e9loign\u00e9es. Par cons\u00e9quent, les valeurs aberrantes locales peuvent \u00eatre identifi\u00e9es par des zones d’entropie \u00e9lev\u00e9e.<\/p>\n
La m\u00e9thode cluster identifie les polygones qui sont dissemblables \u00e0 leurs voisins environnants. Vous vous attendez \u00e0 ce que la valeur enregistr\u00e9e dans un polygone particulier soit similaire \u00e0 au moins un de ses voisins. Par cons\u00e9quent, cet outil peut \u00eatre utilis\u00e9 pour identifier d’\u00e9ventuels valeurs aberrantes locales:<\/p>\n
$\"carte$ <\/a>Le cluster prend l’ensemble des points et classe ces valeurs en cinq classes. Pour chaque polygone on affiche sa classe, si et seulement si, au moins un polygone voisin est de m\u00eame classe. Si tous les polygones voisins sont de classe diff\u00e9rente, on affiche le polygone en gris.<\/p>\n
Sur l’image pr\u00e9c\u00e9dente, il sera utile de cliquer sur chaque polygone gris et d’observer sa valeur sur la carte des points :<\/p>\n
$\"lien$ <\/a>Dans cet exemple on observe une valeur de 3.4 au milieu de valeurs de l’ordre de 30. Il peut s’agir d’une erreur de saisie de la virgule.<\/p>\n
Dans le prochain article nous verrons comment analyser les tendances des donn\u00e9es.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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Utilisations des diff\u00e9rents types de carte<\/h4>\nLes diff\u00e9rentes statistiques de Vorono\u00ef sont utilis\u00e9es \u00e0 des fins diff\u00e9rentes.\nLes statistiques peuvent \u00eatre regroup\u00e9es dans les cat\u00e9gories fonctionnelles g\u00e9n\u00e9rales suivantes:<\/p>\n

Outils de lissage locaux:<\/h5>\n\ncarte de moyenne<\/li>\ncarte de mode<\/li>\n

Outils de visualisation de la variabilit\u00e9 locale<\/h5>\n\ncarte des \u00e9carts-type<\/li>\ncarte des \u00e9carts interquartiles<\/li>\n

Utilisations des diff\u00e9rents types de carte<\/h4>\n
Les diff\u00e9rentes statistiques de Vorono\u00ef sont utilis\u00e9es \u00e0 des fins diff\u00e9rentes.
\nLes statistiques peuvent \u00eatre regroup\u00e9es dans les cat\u00e9gories fonctionnelles g\u00e9n\u00e9rales suivantes:<\/p>\n