{"id":602,"date":"2015-03-01T00:08:01","date_gmt":"2015-02-28T23:08:01","guid":{"rendered":"http:\/\/www.sigterritoires.fr\/?p=602"},"modified":"2015-03-01T00:08:01","modified_gmt":"2015-02-28T23:08:01","slug":"lhydrologie-avec-un-sig-pour-les-nuls-que-nous-sommes-calcul-de-lecoulement-4","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.sigterritoires.fr\/index.php\/lhydrologie-avec-un-sig-pour-les-nuls-que-nous-sommes-calcul-de-lecoulement-4\/","title":{"rendered":"L\u2019hydrologie avec un SIG, pour les nuls (que nous sommes): calcul de l\u2019\u00e9coulement (4)"},"content":{"rendered":"

Dans les trois derniers articles, nous avons vu un exemple d’application de chacune des m\u00e9thodes principales de calcul du flux d’\u00e9coulement. Bien qu’ils soient assez parlants d’eux m\u00eames, il faut bien passer par un peu de th\u00e9orie pour compl\u00e9ter le sujet.
\nTout d’abord, voyons ce qui se passe avec la m\u00e9thode la plus r\u00e9pandue, utilis\u00e9e en particulier pour tous les calculs hydrologiques d’ArcGis, la m\u00e9thode D8.<\/p>\n

Analyse des probl\u00e8mes de la m\u00e9thode D8<\/h2>\n
La m\u00e9thode D8 permet \u00e0 l’\u00e9coulement de chaque pixel de se faire en direction d’un seul voisin de r\u00e9ception. Cela revient \u00e0 traiter les flux qui ont pour origine un pixel (une surface \u00e0 deux dimensions, X et Y) comme si c’\u00e9tait une source ponctuelle (sans dimension) et de g\u00e9n\u00e9rer une ligne d’\u00e9coulement descendante (avec une dimension, la longueur) au lieu d’un chenal d’\u00e9coulement (avec deux dimensions, largeur et longueur). Bref, on m\u00e9lange all\u00e9grement des torchons et des serviettes. Le voisin de r\u00e9ception unique impose \u00e9galement des restrictions sur les configurations du chemin d’\u00e9coulement possible, parce que le flux peut se faire seulement selon une direction cardinale (haut,bas,gauche,droite) ou sur une diagonale.
\nLes erreurs r\u00e9sultantes de ces limites sont diff\u00e9rentes pour les terrains o\u00f9 le d\u00e9bit est divergent (o\u00f9 la largeur du chemin d’\u00e9coulement augmente en descendant la pente), convergent (la largeur du chemin d’\u00e9coulement diminue vers l’aval), ou est parall\u00e8le (la largeur du chemin d’\u00e9coulement est constante tout au long de la pente).<\/p>\n
Les pixels amont d’une cellule sont appel\u00e9s la Surface Contributive Sp\u00e9cifique (SCA) de cette cellule (le \u00ab\u00a0bassin versant\u00a0\u00bb de cette cellule).
\nLa m\u00e9thode D8 calcule la SCA correctement pour un \u00e9coulement parall\u00e8le (la largeur de la surface d’\u00e9coulement ne varie pas d’amont en aval) que lorsque le flux est dans la direction x ou y. Lorsque le flux forme un angle par rapport \u00e0 l’orientation de la grille principale, deux types d’erreurs se pr\u00e9sentent: <\/p>\n
1-les erreurs qui affectent la direction du trajet d’\u00e9coulement et, <\/li>\n
2- une erreur de sous-estimation de la SCA pour un trajet d’\u00e9coulement donn\u00e9e.<\/li>\n
La premi\u00e8re source d’erreur se produit lorsque le flux forme un angle diff\u00e9rent d’un multiple de 45 \u00b0. Par exemple, si le flux forme un angle de 30 \u00b0 par rapport \u00e0 l’Est(mesur\u00e9s dans le sens antihoraire), la direction de plus grande pente donn\u00e9e par la m\u00e9thode D8 sera vers le NE, et chaque pixel se d\u00e9versera vers son voisin du NE.
\nCela se produit par l’approximation de l’angle de l’\u00e9coulement \u00e0 45 \u00b0; le flux mod\u00e9lis\u00e9 sera d\u00e9tourn\u00e9e de son vrai chemin de 15 \u00b0.
\nLa seconde source d’erreur r\u00e9sulte de la projection<\/a> unidimensionnelle de l’\u00e9coulement. Consid\u00e9rez un \u00e9coulement parall\u00e8le avec un angle de 45\u00b0( ou un multiple de 45 \u00b0). <\/p>\n
$\"sc\u00e9ma$ <\/a><\/p>\n
Dans l’image, le pixel A est le sommet de la pente.
\nLa surface amont d’\u00e9coulement sera calcul\u00e9e par une diagonale de pixels, se touchant par les coins. Pour le pixel situ\u00e9 en haut et \u00e0 droite, il recevra, d’apr\u00e8s le calcul la pluie tomb\u00e9e sur les trois pixels situes en diagonale, jusqu’au sommet.
\nEn r\u00e9alit\u00e9 elle devrait comprendre aussi une partie (la moiti\u00e9) de chaque pixel gauche et droit de ces pixels amont. La surface amont d’\u00e9coulement est donc sous-estim\u00e9e par un facteur de 2 lorsque vous utilisez la m\u00e9thode D8.
\nLors de l’utilisation D8, les surfaces amont calcul\u00e9es pour un \u00e9coulement parall\u00e8le sont correctes seulement pour les \u00e9coulement qui se produisent pr\u00e9cis\u00e9ment dans une direction cardinale (0\u00b0, 90\u00b0, 180\u00b0, ou 270\u00b0), sont sous-estim\u00e9es par un facteur de deux pour les \u00e9coulements qui se font pr\u00e9cis\u00e9ment dans une direction diagonale (45\u00b0, l35\u00b0, 225\u00b0 ou 3l5\u00b0), et sont inf\u00e9rieures \u00e0 la valeur correcte d’un facteur compris entre 1 et 2 pour le \u00e9coulements qui se produisent entre les directions cardinales et les diagonales. <\/p>\n
Pour un \u00e9coulement divergent comme celui que nous avons sur le MNT semi-sph\u00e9rique des articles pr\u00e9c\u00e9dente, les choses ne se passent pas de la m\u00eame mani\u00e8re. Voyons d’abord comment travaille la m\u00e9thode D8 dans ce cas.<\/p>\n
$\"sch\u00e9ma$ <\/a><\/p>\n
Dans l’image, on consid\u00e8re que le pixel A est le sommet de la montagne, sph\u00e9rique ou conique. Comme il faut bien sortir de ce pixel vers le bas, supposons que la m\u00e9thode d\u00e9cide que l’\u00e9coulement se fait vers le pixel situ\u00e9 au NE.
\nLes fl\u00e8ches indiquent les directions d\u00e9finies pour les autres pixels. Consid\u00e9rons maintenant le pixel B. Aucun des pixels amont (pixels Ouest, Sud Ouest et Sud contigus) ne se d\u00e9verse vers lui. La m\u00e9thode consid\u00e8re donc qu’il n’y a pas de SCA, de bassin versant, pour ce pixel. C’est seulement la pluie tomb\u00e9e sur lui m\u00eame qui sera transmise vers son pixel aval.
\nEn r\u00e9alit\u00e9, son SCA est dessin\u00e9e sur l’image suivante:<\/p>\n
$\"\u00e9coulement$ <\/a><\/p>\n
Le pixel doit recevoir en r\u00e9alit\u00e9 toute la pluie tomb\u00e9e dan le triangle form\u00e9 par le sommet de la montagne et ses deux coins \u00ab\u00a0lat\u00e9raux\u00a0\u00bb. Au lieu de \u00e7a, la m\u00e9thode D8 lui affecte une SCA = 0.<\/p>\n
Regardons ce qui se passe avec le pixel situ\u00e9 \u00e0 gauche de B.<\/p>\n
$\"\u00e9coulement$ <\/a><\/p>\n
Pour une SCA r\u00e9elle sensiblement \u00e9gale \u00e0 celle du pixel B, on va retrouver une SCA calcul\u00e9e correspondante aux deux pixels situ\u00e9s vers le Sud Ouest, donc SCA=2. Ceci est d\u00fb au fait que ce pixel se situe sur une direction multiple de 45\u00b0 par rapport au sommet.<\/p>\n
Ce ph\u00e9nom\u00e8ne va se reproduire tout au long de la pente. Nous aurons ainsi, des pixels tout en bas de la pente qui, comme le pixel B, n’auront pratiquement aucune SCA, et d’autres qui auront cumul\u00e9 tout au long de la pente. Dans le cas d’\u00e9cole de la montagne sph\u00e9rique ou conique, tous les pixels en bas de pente devraient avoir exactement la m\u00eame SCA et le m\u00eame flux cumul\u00e9.<\/p>\n
Pour un \u00e9coulement convergent, comme ce serait le cas d’un crat\u00e8re conique, on retrouve le m\u00eame type de probl\u00e8me mais avec des \u00e9carts entre les directions privil\u00e9gi\u00e9es (0,45,90,…) et les autres, moins marqu\u00e9s.<\/p>\n
A la lumi\u00e8re de ce qu’on vient de dire, vous pouvez maintenant mieux comprendre le r\u00e9sultat que nous avons obtenu dans nos autres articles pour l’\u00e9coulement avec la m\u00e9thode D8.<\/p>\n
$\"r\u00e9sultat$ <\/a><\/p>\n
Les \u00ab\u00a0traits\u00a0\u00bb blancs sur les directions privil\u00e9gi\u00e9es sont les pixels qui ont r\u00e9cup\u00e9r\u00e9 les SCA de leurs pixels amont, les zones noires en bord de l’image correspondent aux pixels qui se trouvent \u00eatre comme notre pixel B de l’exemple.<\/p>\n
Analyse des probl\u00e8mes de la m\u00e9thode Rho8<\/h2>\n
La m\u00e9thode Rho8 tente de r\u00e9soudre l’un des probl\u00e8mes de m\u00e9thode D8, la d\u00e9viation du sens d’\u00e9coulement mod\u00e9lis\u00e9es vers une directions cardinale ou diagonale. Ceci r\u00e9sulte de la structure arbitraire de la grille o\u00f9 on ne peut choisir que l’une de ces 8 directions.<\/p>\n
La m\u00e9thode utilis\u00e9e se base sur le hasard et les probabilit\u00e9s, ce qui n’est jamais simple \u00e0 expliquer. On va essayer d’abord la v\u00e9ritable explication:
\nLa m\u00e9thode Rho8 introduit une composante stochastique dans la m\u00e9thode D8, ce qui permet de mieux respecter le sens d’\u00e9coulement suivant une pente et direction donn\u00e9es. Comme dans la m\u00e9thode D8. chaque pixel d\u00e9bouche dans l’un de ses huit voisins. Le choix du pixel de r\u00e9ception parmi les voisins est faite de mani\u00e8re stochastique. A l’un des voisins il lui est attribu\u00e9e une probabilit\u00e9 p d’\u00eatre choisi et \u00e0 un autre voisin lui est attribu\u00e9e une probabilit\u00e9 l – p.
\nLe syst\u00e8me d’attribution de probabilit\u00e9s et l’objectif de cette m\u00e9thode sont illustr\u00e9s dans l’exemple suivant : Consid\u00e9rons une surface plane avec une pente orient\u00e9e de 30 \u00b0 (mesur\u00e9e dans le sens antihoraire \u00e0 partir de l’Est). Selon la m\u00e9thode D8, l’\u00e9coulement se fera vers le pixel voisin situ\u00e9 au NE. La direction d’\u00e9coulement aura donc une diff\u00e9rence de 15\u00b0 avec la v\u00e9ritable direction d’\u00e9coulement. La m\u00e9thode Rho8 attribue une probabilit\u00e9 p pour l’\u00e9coulement vers son voisin du NE et une probabilit\u00e9 de 1′-p pour que l’\u00e9coulement se fasse vers l’autre possible voisin, le pixel situ\u00e9 \u00e0 l’Est.
\nAu fur et \u00e0 mesure que l’on descend la pente, certains pixels se d\u00e9verseront vers leur voisin du NE, et le reste se d\u00e9versera sur le voisin de l’Est. Si le nombre de pixels qui se d\u00e9versent vers le NE par rapport au voisin de l’Est respecte les bonnes proportions (la proportion attendue est p \/ (1 – p)), les lignes de flux r\u00e9sultantes auront une direction globale de 30 \u00b0. La valeur de p doit \u00eatre telle que la valeur attendue de la direction de trajet d’\u00e9coulement est \u00e9gal \u00e0 l’angle de la pente (\u00ab\u00a0aspect\u00a0\u00bb).<\/p>\n
En des termes plus caricaturaux, si les conditions se pr\u00eatent (longueur de l’\u00e9coulement,etc.) le hasard fait que l’orientation est autant modifi\u00e9e dans un sens comme dans l’autre et qu’on retrouve \u00e0 l’arriv\u00e9e l’orientation d’origine.<\/p>\n
Bien que cette m\u00e9thode fournit (en esp\u00e9rance math\u00e9matique) la direction de trajet d’\u00e9coulement appropri\u00e9e, tous les autres probl\u00e8mes identifi\u00e9s pour la m\u00e9thode D8 persistent. Mais en plus, la m\u00e9thode Rho8 introduit ses propres probl\u00e8mes: le hasard ne garantit pas des r\u00e9sultats reproductibles, et dans des endroits avec flux parall\u00e8les, les chemins d’\u00e9coulement adjacents ne sont pas parall\u00e8les, mais ils sont d\u00e9vi\u00e9s au hasard, ce qui provoque souvent une convergence de flux qui devraient \u00eatre parall\u00e8les. Ceci arrive en particulier sur des portions de surface planes, o\u00f9 les chemins de flux devraient rester parall\u00e8les et o\u00f9 on retrouve, \u00e0 la place, des pixels avec des fortes accumulations.<\/p>\n
Une fois que deux voies d’\u00e9coulement ont fusionn\u00e9 en raison de leur d\u00e9viation al\u00e9atoire, il n’existe aucun m\u00e9canisme qui puisse les faire diverger \u00e0 nouveau. Au fur et \u00e0 mesure qu’on se d\u00e9place vers le bas de la pente, les erreurs augmentent \u00e0 mesure que le flux devient de plus en plus concentr\u00e9.<\/p>\n
En d\u00e9finitive, certains pixels auront les valeurs de SCA surestim\u00e9es, tandis que d’autres qui ont \u00e9t\u00e9 manqu\u00e9es par les flux d’\u00e9coulement d\u00e9vi\u00e9s au hasard auront des valeurs sous-estim\u00e9es.<\/p>\n
$\"r\u00e9sultat$ <\/a><\/p>\n
Analyse des probl\u00e8mes de la m\u00e9thode MFD<\/h2>\n
Les m\u00e9thodes multi-directionnelles tentent de r\u00e9soudre la limitation majeure de la m\u00e9thode D8, la repr\u00e9sentation unidimensionnelle de l’\u00e9coulement, en distribuant des flux \u00e0 partir d’un pixel vers tous les pixels voisins qui se situent plus bas que lui. C’est la r\u00e8gle qu’on utilise pour distribuer les \u00e9coulements respectifs vers ces voisins qui change, selon la m\u00e9thode utilis\u00e9e.<\/p>\n
Nous ne rentrerons pas dans les d\u00e9tails de la m\u00e9thode MFD, bas\u00e9es sur la pente directionnelle des pixels, mais dans tous les cas, chaque pixel va s’\u00e9couler vers trois ou quatre autres pixels en fonction de la pente.<\/p>\n
Lui-m\u00eame, va recevoir de l’\u00e9coulement de trois ou quatre pixels amont voisins, \u00e9coulement de chaque pixel qui ne sera pas complet (comme dans la m\u00e9thode D8), mais partielle.
\nSur un plan inclin\u00e9, un plan conique, ou circulaire, si l’on dessiner la zone amont de chaque pixel, on peut observer que celle-ci forme un triangle invers\u00e9, avec le sommet situ\u00e9 sur le pixel consid\u00e9r\u00e9 et la base sur la limite amont du plan.<\/p>\n
La valeur de SCA calcul\u00e9e pour un pixel (la surface contributive ou bassin amont) est correcte, si et seulement si, elle se trouve assez loin de bords de la zone couverte par le MNT. Si c’est le cas, la zone triangulaire est comprise dans le MNT, sinon la r\u00e9gion triangulaire est incompl\u00e8te et la SCA est sous-estim\u00e9e. <\/p>\n
Un param\u00e8tre de la m\u00e9thode (la convergence) permet de compenser dans une certaine mesure, ce probl\u00e8me.Pour une montagne en forme de c\u00f4ne circulaire, une valeur de 1,1 a donn\u00e9 de tr\u00e8s bons r\u00e9sultats. Le souci c’est que cette \u00ab\u00a0calibration\u00a0\u00bb se base sur la sym\u00e9trie g\u00e9om\u00e9trique de la surface et va souffrir dans la mesure la surface naturelle du terrain s’\u00e9carte des surfaces g\u00e9om\u00e9triques sym\u00e9triques utilis\u00e9es pour la calibration de la m\u00e9thode. <\/p>\n
Conclusion (s’il y en a une…)<\/h2>\n
On va conclure ici cette s\u00e9rie d’articles, non parce que le sujet peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme clos, mais bien au contraire, parce que le sujet peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 d\u00e9finitivement ouvert.<\/p>\n
Le but de ces articles n’est pas d’apporter les r\u00e9ponses, mais de poser les questions. Une fois pos\u00e9es, ces questions, nous aborderons avec plus de modestie la mod\u00e9lisation hydrologique d’un terrain. Et \u00e0 chacun de poursuivre sa route en essayant de r\u00e9pondre aux nouvelles questions pos\u00e9es.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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