Parmi les diff\u00e9rents types de donn\u00e9es, nous allons rester dans un type de donn\u00e9es pr\u00e9cis : des donn\u00e9es mesur\u00e9es au cours du temps sur un espace donn\u00e9, ce qu\u2019on catalogue comme donn\u00e9es spatio-temporelles.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Notre objectif, devant ce type de donn\u00e9es peut \u00eatre un parmi les trois buts les plus classiques dans ce domaine :<\/p>\n\n\n\n Pour atteindre un ou plusieurs de ces objectifs nous serons oblig\u00e9s de trouver un moyen math\u00e9matique de r\u00e9aliser ces calculs.<\/p>\n\n\n\n Ces moyens math\u00e9matiques sont de deux ordres :<\/p>\n\n\n\n Prenons, par exemple, les gouttes de pluie qui tombent sur une surface. Pour pr\u00e9dire exactement o\u00f9 et quand chaque goutte tombera, il faudrait un mod\u00e8le m\u00e9t\u00e9orologique d\u00e9terministe<\/strong> inconcevable et complexe, int\u00e9grant la pression de l\u2019air, la vitesse du vent, la formation de gouttelettes d\u2019eau, et ainsi de suite. Un mod\u00e8le de ce genre \u00e0 grande \u00e9chelle spatiale est non seulement irr\u00e9alisable, mais aussi inutile \u00e0 de nombreuses fins. <\/p>\n\n\n\n En \u00e9tudiant la quantit\u00e9 de pluie tomb\u00e9e sur une grille spatiale r\u00e9guli\u00e8re, on peut arriver \u00e0 pr\u00e9voir cette valeur de mani\u00e8re statistique<\/strong>, m\u00eame si l\u2019emplacement exact et l\u2019heure de chaque goutte de pluie qui va tomber sont incertains.<\/p>\n\n\n\n Un autre exemple plus familier pour les g\u00e9omaticiens est l\u2019interpolation spatiale des donn\u00e9es. La m\u00e9thode la plus simple est la pond\u00e9ration par l\u2019inverse de la distance (IDW). Quand on a deux points A et B avec une valeur donn\u00e9e, les points interm\u00e9diaires sont calcul\u00e9s en donnant un poids proportionnel aux valeurs A et B selon la distance qui s\u00e9pare le point interm\u00e9diaire \u00e0 chacun des points. Par exemple, si le point se trouve \u00e0 mi-chemin entre A et B, la valeur interpol\u00e9e sera \u00e9gale \u00e0 la moiti\u00e9 de A plus la moiti\u00e9 de B.<\/p>\n\n\n\n On dit que cette m\u00e9thode est d\u00e9terministe<\/strong> parce que, une fois donn\u00e9e la distance entre le point \u00e0 interpoler, le calcul ne peut avoir qu\u2019un seul r\u00e9sultat. La valeur au point interm\u00e9diaire est d\u00e9termin\u00e9e par les points qui l\u2019entourent.<\/p>\n\n\n\n Mais il existe aussi une m\u00e9thode appel\u00e9e krigeage qui permet de r\u00e9aliser les interpolations. Cette m\u00e9thode cherche \u00e0 savoir quelle est la relation entre la distance qui s\u00e9parent les points des observations et les valeurs mesur\u00e9es. Une fois trouv\u00e9 quelle fonction repr\u00e9sente au mieux cette variation, c\u2019est cette fonction qui est utilis\u00e9e. Si on a des mesures de hauteur de terrain sur une grande zone g\u00e9ographique, et que nous avons \u00e0 interpoler entre deux cr\u00eates de montagnes, une m\u00e9thode d\u00e9terministe va trouver une valeur proche des cr\u00eates, m\u00eame si on sait qu\u2019entre deux cr\u00eates il y a forc\u00e9ment une vall\u00e9e. <\/p>\n\n\n\n Le krigeage, en principe, arrive \u00e0 d\u00e9terminer que les valeurs de hauteur, \u00e0 partir d\u2019une cr\u00eate vont d\u2019abord diminuer jusqu\u2019\u00e0 la vall\u00e9e, puis augmenter vers l\u2019autre cr\u00eate. Le r\u00e9sultat sera plus proche de la r\u00e9alit\u00e9 parce qu\u2019on introduit dans le calcul une information tir\u00e9e de l\u2019ensemble du territoire et pas seulement des deux points concern\u00e9s. Le krigeage est une m\u00e9thode statistique<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Revenons \u00e0 notre mod\u00e9lisation. Un mod\u00e8le n\u2019est qu\u2019une formule plus ou moins compliqu\u00e9e qui permet de calculer un r\u00e9sultat \u00e0 partir d\u2019une (ou plusieurs) valeur en entr\u00e9e. Comme nous avons dit plus haut, nous consid\u00e9rons ici les donn\u00e9es spatio-temporelles. Notre mod\u00e8le aura donc, comme entr\u00e9e une combinaison de deux informations : l\u2019endroit et le moment. En sortie on aura nos pr\u00e9dictions du ph\u00e9nom\u00e8ne qui nous int\u00e9resse.<\/p>\n\n\n\n On classe les mod\u00e8les en deux grandes familles, selon la mani\u00e8re d\u2019utiliser l\u2019information disponible pour les mettre en place.<\/p>\n\n\n\n La fameuse \u00ab Projection \u00bb de cette image c\u2019est un exemple de mod\u00e9lisation temporelle. Avec tous nos points rouges qui repr\u00e9sentent les observations qu\u2019on a \u00ab ajust\u00e9 \u00bb, c\u2019est-\u00e0-dire trouv\u00e9 une fonction qui colle au mieux \u00e0 ces points. Il suffit alors de donner en entr\u00e9e le jour de demain et les suivants pour avoir la valeur de cette fonction, nos pr\u00e9dictions du mod\u00e8le.<\/p>\n\n\n\n Ce type de d\u00e9marche correspond \u00e0 la premi\u00e8re grande famille de mod\u00e8les spatio-temporels : les mod\u00e8les descriptifs<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Qu\u2019est-ce qu\u2019on peut dire de ce type de mod\u00e8le ?<\/p>\n\n\n\n Tout d\u2019abord, qu\u2019ils sont \u00ab \u00e9vidents \u00bb. Face<\/a> \u00e0 l\u2019image pr\u00e9c\u00e9dente, on ne peut que s\u2019incliner devant les pr\u00e9dictions. M\u00eame si cette image n\u2019explique rien. Et il suffit d\u2019avoir suivi \u00e0 la t\u00e9l\u00e9vision les d\u00e9bats interminables sur les fameuses projections de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie pour avoir int\u00e9gr\u00e9 que ce n\u2019est pas une courbe qui tranche le d\u00e9bat !<\/p>\n\n\n\n Voyons pourquoi.<\/p>\n\n\n\n La formule math\u00e9matique de notre courbe est de type :<\/p>\n\n\n\n La valeur de F (le nombre de cas s\u00e9v\u00e8res de Covid) est fonction de la date (x) et de deux param\u00e8tres \u00b5 et \u1e9e. Ces deux param\u00e8tres sont le r\u00e9sultat de l\u2019ajustement des points observ\u00e9s. Mais qu\u2019est-ce qu\u2019ils repr\u00e9sentent dans la r\u00e9alit\u00e9 ? Impossible de relier ces param\u00e8tres \u00e0 quelque chose de concret. Ce sont juste des abstractions math\u00e9matiques. D\u2019o\u00f9 les interminables d\u00e9bats o\u00f9 chacun interpr\u00e8te la m\u00eame courbe avec ses propres inf\u00e9rences sur le processus r\u00e9el qui la motive.<\/p>\n\n\n\n En mod\u00e9lisant de cette fa\u00e7on, ce n\u2019est pas \u00e9vident de simuler l\u2019avenir, ni de comprendre ce que le comportement de la fonction de corr\u00e9lation signifie physiquement.<\/p>\n\n\n\n Un autre probl\u00e8me, plus conceptuel, est pos\u00e9 par la d\u00e9marche elle-m\u00eame. Quand on ajuste la fonction aux observations, on cherche la fonction qui minimise la distance entre les valeurs observ\u00e9es et la valeur de la fonction. Que les observations aient eu lieu hier ou il y a trois mois ou un an, cela n\u2019a pas d\u2019importance. M\u00eame s\u2019il existe des m\u00e9thodes descriptives plus sophistiqu\u00e9es pour prendre plus ou moins cela en compte, il est parfois difficile de voir cette relation entre la valeur pr\u00e9sente et des valeurs pass\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n Voyons un exemple. On habite \u00e0 la campagne et on a la chance d\u2019avoir un terrain cons\u00e9quent. Chaque ann\u00e9e il y a des chardons qui poussent. Des ann\u00e9es il y en a beaucoup, d\u2019autres moins. On s\u2019amuse \u00e0 les compter et \u00e0 noter le nombre de chardons chaque ann\u00e9e. Et on essaye de r\u00e9pondre \u00e0 la question : combien de chardons il y aura l\u2019ann\u00e9e prochaine ?<\/p>\n\n\n\n Est-ce que le nombre de chardons il y a 15 ans vous semble pertinent pour pr\u00e9dire le nombre l\u2019ann\u00e9e prochaine ?<\/p>\n\n\n\n Laissons les math\u00e9matiques de c\u00f4t\u00e9 et prenons le probl\u00e8me tel qu\u2019il est en r\u00e9alit\u00e9. Chaque ann\u00e9e, des chardons poussent sur le terrain. A un moment donn\u00e9 ils font des graines. Ces graines se dispersent avec le vent. L\u2019ann\u00e9e suivante, les graines germent et de nouveaux chardons poussent.<\/p>\n\n\n\n Logiquement, le nombre de chardons de l\u2019ann\u00e9e prochaine est li\u00e9 au nombre de chardons de cette ann\u00e9e : plus il y a de plants, plus il y aura de graines. Mais il n\u2019y a pas que le nombre qui compte. Selon les conditions m\u00e9t\u00e9orologiques les graines seront plus ou moins dispers\u00e9es, plus ou moins loin. Et il se peut aussi que pour des raisons diverses (m\u00e9t\u00e9o ou arrachage) le nombre de plants produisant des graines soit moins important que le nombre de plants de l\u2019ann\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n On est en plein dans la deuxi\u00e8me famille de mod\u00e8les, les mod\u00e8les dynamiques<\/em><\/strong>. Ce type de mod\u00e8le consid\u00e8re que ce qu\u2019on aura au temps t+1 d\u00e9pend de ce que l\u2019on aura observ\u00e9 au temps pr\u00e9c\u00e9dent t, plus ou moins une certaine valeur qui perturbe cette \u00e9volution.<\/p>\n\n\n\n Les valeurs du pass\u00e9 servent ici pour comprendre ces perturbations : s\u2019il y a 15 ans les conditions m\u00e9t\u00e9orologiques \u00e9taient tr\u00e8s semblables \u00e0 celles de cette ann\u00e9e, il sera plus probable que le nombre de chardons l\u2018ann\u00e9e prochaine soit proche de celui d\u2019il y a 14 ans plus que de celui de l\u2019ann\u00e9e derni\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n Gardez en t\u00eate cet exemple car il va nous resservir quand on arrivera aux mod\u00e8les IDE qui, vous l\u2019aurez devin\u00e9, sont des mod\u00e8les dynamiques.<\/p>\n\n\n\n Parce que, il nous reste un autre concept \u00e0 mettre en place avant d\u2019arriver \u00e0 notre sujet principal.<\/p>\n\n\n\n On parle de l\u2019espace et on parle du temps. Mais ces deux concepts embrassent des r\u00e9alit\u00e9s bien diff\u00e9rentes quand on commence \u00e0 rentrer dans le vif du sujet.<\/p>\n\n\n\n Prenons d\u2019abord le temps. Voici une courbe de mar\u00e9e. Elle montre la hauteur de la mar\u00e9e en fonction de l\u2019heure de la journ\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n Pour n\u2019importe quel moment de la journ\u00e9e on peut avoir la hauteur exacte. On dit ici que le temps est continu <\/strong>car il n\u2019y a pas de \u00ab trou \u00bb entre deux valeurs cons\u00e9cutives, quel qu\u2019il soit l\u2019espacement sur l\u2019\u00e9chelle du temps.<\/p>\n\n\n\n Maintenant, si on revient \u00e0 l\u2019image avec les cas de Covid, on a une observation par jour. Avec ces donn\u00e9es on ne peut pas savoir combien de cas il y avait un jour \u00e0 6 hrs du matin ou \u00e0 15 hrs. On dit que le temps est discret<\/strong>, car il ne peut pas prendre n\u2019importe quelle valeur, il y a des \u00ab trous \u00bb entre chaque valeur acceptable. Comme pour les chardons, on a le nombre chaque ann\u00e9e, pas jour par jour, ni minute par minute, etc.<\/p>\n\n\n\n Comme pour le temps, l\u2019espace aussi peut \u00eatre discret ou continu. On parle d\u2019espace continu<\/strong> quand le ph\u00e9nom\u00e8ne qu\u2019on observe peut avoir lieu n\u2019importe o\u00f9 sur notre zone d\u2019\u00e9tude. Si on \u00e9tudie les courants dans l\u2019Oc\u00e9an Atlantique, on peut avoir une mesure de courant n\u2019importe o\u00f9.<\/p>\n\n\n\n Par contre si on \u00e9tudie la reproduction des cocotiers d\u2019un archipel polyn\u00e9sien, les cocotiers ne peuvent pousser que sur les \u00eeles. L\u2019espace marine entre les \u00eeles ne fait pas partie de l\u2019espace du ph\u00e9nom\u00e8ne. On dit alors que l\u2019espace est discret.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Il nous reste une troisi\u00e8me possibilit\u00e9, et c\u2019est celle de pas d\u2019espace du tout. Au fait, la courbe du Covid pour la France fait une r\u00e9f\u00e9rence, lointaine, \u00e0 un espace. Mais nous ne prenons pas du tout en compte l\u2019endroit o\u00f9 les cas ont lieu. On sait seulement dans quel territoire le ph\u00e9nom\u00e8ne a lieu, mais son espace n\u2019est ni discret ni continu.<\/p>\n\n\n\n On a maintenant tout ce qu\u2019il faut pour aborder le tableau suivant, qui donne les familles de mod\u00e8les dynamiques selon ces crit\u00e8res d\u2019espace et de temps.<\/p>\n\n\n\n On va laisser de c\u00f4t\u00e9 la plupart de ces termes barbares et nous allons donc aborder l\u2019\u00e9quation int\u00e9gro-diff\u00e9rentielle, en sachant qu\u2019on va traiter des ph\u00e9nom\u00e8nes discrets dans le temps, dans un espace continu (nos chardons, par exemple). Et aussi que nous sommes en pr\u00e9sence d\u2019un type de mod\u00e8le dynamique.<\/p>\n\n\n\n Il est toujours int\u00e9ressant de conna\u00eetre la gen\u00e8se d\u2019un mod\u00e8le. Chaque mod\u00e8le a \u00e9t\u00e9 \u00ab invent\u00e9 \u00bb pour r\u00e9pondre \u00e0 un type de probl\u00e8me. Une fois d\u00e9velopp\u00e9 et rod\u00e9 on peut l\u2019appliquer \u00e0 d\u2019autres probl\u00e9matiques, souvent tr\u00e8s diff\u00e9rentes de celles d\u2019origine.<\/p>\n\n\n\n Les mod\u00e8les int\u00e9gro-diff\u00e9rentiels (IDE) ont leur origine dans la probl\u00e9matique de d\u00e9crire le cycle de vie des plantes annuelles ou des insectes.<\/p>\n\n\n\n Au d\u00e9but d\u2019une saison les graines germent, les plants se d\u00e9veloppent, fleurissent et produisent des graines. Durant toute cette p\u00e9riode, les plantes ne se d\u00e9placent pas. A la fin de la saison, les graines sont dispers\u00e9es par le vent et les oiseaux. Les plants meurent et les graines restent en terre en attendant la saison prochaine.<\/p>\n\n\n\n De m\u00eame, beaucoup d\u2019insectes \u00e9closent au d\u00e9but de la saison, et passent par leur \u00e9tat larvaire et poupe et deviennent adultes. Les adultes s\u2019envolent et vont d\u00e9poser leurs \u0153ufs pour la prochaine g\u00e9n\u00e9ration, puis meurent.<\/p>\n\n\n\n Quelque chose de commun pour ces deux cycles de vie c\u2019est la s\u00e9paration entre les deux phases, celle de croissance o\u00f9 les d\u00e9placements sont n\u00e9gligeables, et celle de dispersion dans laquelle la croissance est nulle. Un autre \u00e9l\u00e9ment important est le synchronisme des phases au sein de la population o\u00f9 la quasi-totalit\u00e9 des individus se trouve au m\u00eame stade simultan\u00e9ment.<\/p>\n\n\n\n Une derni\u00e8re caract\u00e9ristique est la non-superposition des g\u00e9n\u00e9rations. Chaque g\u00e9n\u00e9ration est totalement s\u00e9par\u00e9e de la pr\u00e9c\u00e9dente dans le temps.<\/p>\n\n\n\n Voil\u00e0 des cas types pour lesquels la mod\u00e9lisation int\u00e9gro-diff\u00e9rentielle a \u00e9t\u00e9 con\u00e7ue.<\/p>\n\n\n\n Comme tout mod\u00e8le math\u00e9matique, IDE est repr\u00e9sent\u00e9 par une formule math\u00e9matique. Nous allons suivre le chemin oppos\u00e9 \u00e0 celui adopt\u00e9 dans la litt\u00e9rature. On ne va pas commencer par la formule pour essayer de la comprendre apr\u00e8s. On va commencer par comprendre la d\u00e9marche et apr\u00e8s lui affecter une formule.<\/p>\n\n\n\n Nous avons vu dans nos deux exemples (plante et insecte) que nous avons deux phases distinctes : une phase de croissance et une phase de dispersion.<\/p>\n\n\n\n La phase de croissance doit \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9e par une formule qui exprime l\u2019id\u00e9e toute simple que le nombre d\u2019individus au temps t+1<\/em><\/strong> (Nt+1<\/sub>) \u00e0 un endroit donn\u00e9 d\u00e9coule du nombre d\u2019individus au temps t<\/em><\/strong> (Nt<\/sub>) situ\u00e9s \u00e0 port\u00e9e du d\u00e9placement saisonnier multipli\u00e9 par un certain facteur. Ou bien, dit d\u2019une autre mani\u00e8re, le nombre d\u2019individus au moment t+1<\/em><\/strong> \u00e0 un endroit x<\/em><\/strong> est fonction du nombre d\u2019individus \u00e0 la saison pr\u00e9c\u00e9dente t<\/em><\/strong> aux endroits y<\/em><\/strong> dans le rayon de la phase de dispersion.<\/p>\n\n\n\n Si au lieu de prendre y<\/em><\/strong> sur une grande surface, on divise la surface en unit\u00e9s tr\u00e8s, tr\u00e8s petites, on peut dire plus pr\u00e9cis\u00e9ment que le nombre Nt+1 <\/sub>est en r\u00e9alit\u00e9 fonction du nombre d\u2019individus situ\u00e9s dans les petits morceaux de y<\/em><\/strong> qui ont produit les graines ou les \u0153ufs arriv\u00e9s \u00e0 l\u2019endroit x<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n La division en petites zones est ce que l\u2019on appelle la diff\u00e9rentielle de y<\/em><\/strong> et c\u2019est ce qui est \u00e0 l\u2019origine d\u2019une partie du nom du mod\u00e8le int\u00e9gro-diff\u00e9rentiel<\/u><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Chaque petite zone dy<\/em><\/strong> a un nombre d\u2019individus Nt<\/sub>(y)<\/em><\/strong>. Seule une partie des graines ou des \u0153ufs arriveront \u00e0 l\u2019endroit x<\/em><\/strong> qui nous int\u00e9resse.<\/p>\n\n\n\n D\u2019un point de vue math\u00e9matique cela s\u2019\u00e9crit :<\/p>\n\n\n\n F (Nt<\/sub>(y))dy<\/strong><\/p>\n\n\n\n A l\u2019endroit x<\/em><\/strong>, le nombre d\u2019individus sera le r\u00e9sultat de l\u2019addition de tous les apports des diff\u00e9rents endroits y<\/em><\/strong> qui auront contribu\u00e9 pendant la phase de dispersion. On aura donc \u00e0 les additionner ou, d\u2019un point de vue math\u00e9matique, \u00e0 les int\u00e9grer sur tout l\u2019espace de notre zone d\u2019\u00e9tude.<\/p>\n\n\n\n D\u2019o\u00f9 l\u2019autre partie du nom du mod\u00e8le IDE, int\u00e9gro<\/u><\/strong>-diff\u00e9rentiel.<\/p>\n\n\n\n Mais dans ce mod\u00e8le nous parlons tout le temps de la phase de dispersion, mais pour l\u2019instant, dans notre formule, cette dispersion n\u2019appara\u00eet pas.<\/p>\n\n\n\n Pendant la phase de dispersion, un individu se d\u00e9place d\u2019un endroit vers un autre avec une certaine probabilit\u00e9. Le r\u00e9sultat de ce processus peut \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9 simplement par un calcul des probabilit\u00e9s qu\u2019un individu situ\u00e9 \u00e0 un endroit y<\/em><\/strong> au d\u00e9but de la phase de dispersion, se retrouve \u00e0 un endroit x<\/em><\/strong> \u00e0 la fin de cette phase.<\/p>\n\n\n\n On peut noter cela juste en disant que cette probabilit\u00e9 K<\/em><\/strong> d\u00e9pend de x<\/em><\/strong> et y<\/em><\/strong> :<\/p>\n\n\n\n K(x,y)<\/strong><\/p>\n\n\n\n Le terme barbare pour nommer cette fonction est noyau de dispersion<\/strong>, traduction de l\u2019anglais dispersal kernel.<\/p>\n\n\n\n Donc, pour chaque endroit dy<\/em><\/strong> on aura une probabilit\u00e9 K(x,y)<\/em><\/strong> correspondante. On peut alors \u00e9crire l\u2019\u00e9quation finale du mod\u00e8le IDE qui nous donne le nombre d\u2019individus \u00e0 l\u2019endroit x<\/em><\/strong> \u00e0 la p\u00e9riode t+1<\/em><\/strong> :<\/p>\n\n\n\n Pour l\u2019instant, ce qu\u2019il nous faut retenir c\u2019est qu\u2019il y a deux parties du mod\u00e8le \u00e0 mettre en place quand on effectue la mod\u00e9lisation int\u00e9gro-diff\u00e9rentielle : la recherche de la partie droite de notre formule (F(Nt(y))dy<\/em><\/strong>) , c\u2019est-\u00e0-dire la fonction de croissance, et la recherche de la partie gauche de notre formule( K(x,y)<\/em><\/strong>), c\u2019est-\u00e0-dire du noyau de dispersion.<\/p>\n\n\n\n La fonction F(Nt(y)) <\/em><\/strong> repr\u00e9sente la croissance de la population dans nos exemples. Plus g\u00e9n\u00e9ralement, il ne faut pas oublier que ce type de mod\u00e8le peut s\u2019appliquer \u00e0 d\u2019autres processus que la dynamique d\u2019une population On appelle cette fonction \u00ab fonction de mise \u00e0 jour<\/em> \u00bb. C\u2019est elle qui mod\u00e9lise la densit\u00e9 de nos mesures, c\u2019est-\u00e0-dire la somme de toutes les valeurs observ\u00e9es, \u00e0 un moment t<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Nous allons rester dans le domaine des dynamiques de populations car les processus sont plus simples \u00e0 comprendre.<\/p>\n\n\n\n Il y a plusieurs types de fonctions qui d\u00e9crivent la dynamique d\u2019une population. Nous allons voir quatre exemples principaux.<\/p>\n\n\n\n Le plus simple \u00e0 mettre en place est celui qui nous dit quel est le taux \u00ab per capita \u00bb de reproduction. Si un individu au temps t<\/em><\/strong> est \u00e0 l\u2019origine de 3 individus au temps t+1<\/em><\/strong>, la fonction qui repr\u00e9sente ceci est une droite<\/p>\n\n\n\n R c\u2019est le taux de reproduction per capita<\/em> et N la densit\u00e9 d\u2019individus au temps t<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Notre formule est des plus simples :<\/p>\n\n\n\n F(N) = RN<\/p>\n\n\n\n Qu\u2019est-ce qu\u2019on peut dire de ce premier mod\u00e8le ? D\u00e9j\u00e0 une premi\u00e8re constatation : si R est plus grand que 1, la population cro\u00eet d\u2019ann\u00e9e en ann\u00e9e. Si R<\/em><\/strong> est plus petit que 1, la population d\u00e9cline.<\/p>\n\n\n\n On d\u00e9duit aussi que le coefficient de reproduction est ind\u00e9pendant de la densit\u00e9 de population.<\/p>\n\n\n\n Notre mod\u00e8le est simple et comme tout mod\u00e8le simple il peut apparaitre peu r\u00e9aliste rapidement. Cette simplification peut \u00eatre valable pour une petite population sur un grand territoire. Mais d\u00e8s qu\u2019on imagine une population o\u00f9 les individus interagissent les uns avec les autres, o\u00f9 les ressources ne sont pas illimit\u00e9es, il est clair qu\u2019on ne peut pas imaginer que la population continuera ind\u00e9finiment \u00e0 s\u2019agrandir avec le m\u00eame rythme.<\/p>\n\n\n\n Si on consid\u00e8re une croissance non lin\u00e9aire, une fonction tr\u00e8s simple a \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9e pour calculer le recrutement dans les stocks de poissons. On consid\u00e8re que le nombre per capita<\/em> de descendants diminue avec la comp\u00e9tition pour les ressources. En d\u2019autres termes, plus la population est importante, moins il y a de descendants par individu.<\/p>\n\n\n\n Cette fonction a le nom de Fonction de croissance de Beverton-Holt<\/strong>. Elle fait varier le coefficient R<\/em><\/strong> de notre premier exemple, de mani\u00e8re inversement proportionnelle aux nombres d\u2019individus.<\/p>\n\n\n\n K<\/em><\/strong> est une mesure de la pression de la densit\u00e9 d\u2019individus sur le taux de reproduction.<\/p>\n\n\n\n Voici deux exemples avec K<\/em><\/strong> = 1 et K<\/em><\/strong> = 3<\/p>\n\n\n\n Plus la valeur de k<\/em><\/strong> augmente, moins la population se reproduit entre deux pas de temps.<\/p>\n\n\n\n Toujours pour les stocks de poissons, il a \u00e9t\u00e9 propos\u00e9 un autre type de fonction, qui envisage aussi une diminution du taux de reproduction avec la densit\u00e9 de population mais cette fois-ci de mani\u00e8re exponentielle. Quand les ressource se font rares, le taux de reproduction diminuera beaucoup plus vite qu\u2019avec la fonction pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n On appelle cette fonction Fonction de croissance de Ricker<\/strong>. Elle est formul\u00e9e ainsi :<\/p>\n\n\n\n F(N) = N exp( R(1-N))<\/p>\n\n\n\n Ce qui donne une courbe de ce type :<\/p>\n\n\n\n Les formules et les graphiques c\u2019est bien, mais, par rapport \u00e0 la r\u00e9alit\u00e9, qu\u2019est-ce qu\u2019elles repr\u00e9sentent ?<\/p>\n\n\n\n On a deux populations de poissons. La premi\u00e8re pr\u00e9sente une certaine hi\u00e9rarchie entre les individus. Chaque individu poss\u00e8de un certain rang qui lui donne acc\u00e8s aux ressources.<\/p>\n\n\n\n La deuxi\u00e8me population est indiff\u00e9renci\u00e9e. Tous les individus ont un acc\u00e8s \u00e9gal aux ressources.<\/p>\n\n\n\n Notre premi\u00e8re population montrera une courbe de croissance de type Beverton-Holt<\/strong> tandis que la deuxi\u00e8me sera de type Ricker<\/strong>. Dans cette deuxi\u00e8me population on observera le ph\u00e9nom\u00e8ne appel\u00e9 expansion\/r\u00e9cession. Quand les ressources augmentent, la population explose, puis, d\u00e8s que les ressource se font rares, la population s’effondre. On observe le ph\u00e9nom\u00e8ne appel\u00e9 surcompensation.<\/p>\n\n\n\n Quand les ressources sont distribu\u00e9es selon le rang des individus, le ph\u00e9nom\u00e8ne de surcompensation n\u2019a pas lieu.<\/p>\n\n\n\n La quatri\u00e8me et derni\u00e8re fonction que nous verrons est un peu plus compliqu\u00e9e. A certaines occasions, on observe un comportement diff\u00e9rent du taux de reproduction. Ce taux peut augmenter, dans une certaine mesure, lorsque la population augmente.<\/p>\n\n\n\n Cette fonction porte le nom d\u2019Effet d\u2019Allee <\/strong>et se traduit par la formule<\/p>\n\n\n\n Contrairement aux fonctions pr\u00e9c\u00e9dentes, celle-ci comporte une condition, la valeur de \ua768 doit \u00eatre comprise entre R<\/em><\/strong> et 1.<\/p>\n\n\n\n La fonction se pr\u00e9sente sous la forme de la courbe rouge suivante :\ua768<\/p>\n\n\n\n La ligne verte correspond \u00e0 la fonction de croissance avec un taux de reproduction de 1. Ce qu\u2019il y a d\u2019important dans cette fonction est que si la population descend en dessous de la valeur marqu\u00e9e par la barre noire, son taux de reproduction est inf\u00e9rieur \u00e0 1, et donc la population est condamn\u00e9e \u00e0 l\u2019extinction.<\/p>\n\n\n\n En ce qui concerne son application r\u00e9elle, elle correspond \u00e0 certains m\u00e9canismes comme la chasse en groupe, la possibilit\u00e9 de trouver un partenaire pour se reproduire, ou tout simplement \u00e0 un comportement de d\u00e9fense en forme de groupe.<\/p>\n\n\n\n Un dernier commentaire concernant le haut de la courbe. Le taux de reproduction passe aussi en dessous de la ligne verte. Les ressources \u00e9tant plus rares, le nombre de descendants sera inf\u00e9rieur au pr\u00e9c\u00e9dent. Mais la population diminuant, on retrouve \u00e0 nouveau la ligne verte et un taux plus grand que 1 de reproduction. Dans la partie basse de la courbe, ceci n\u2019est pas possible.<\/p>\n\n\n\n Le noyau de dispersion ne d\u00e9crit pas le processus de dispersion mais r\u00e9sume le r\u00e9sultat de ce processus. Il correspond \u00e0 la fonction de densit\u00e9 de probabilit\u00e9s de la localisation d\u2019un individu apr\u00e8s la phase de dispersion<\/p>\n\n\n\n On a not\u00e9e cette fonction noyau sous la forme K(x,y). Le x<\/em><\/strong> correspond \u00e0 un endroit donn\u00e9, apr\u00e8s la dispersion, et le y<\/em><\/strong> \u00e0 l\u2019endroit de d\u00e9part avant la dispersion. Comme ce sont des probabilit\u00e9s, la somme de toutes les possibilit\u00e9s est \u00e9gale \u00e0 1. Si on consid\u00e8re toutes les y<\/em><\/strong> possibles, on a deux situations r\u00e9sultantes :<\/p>\n\n\n\n Comme nous l\u2019avons dit juste avant, la somme des probabilit\u00e9s est de 1. Cette situation est vrai quand il n\u2019y a pas de pertes dans la phase de dispersion.<\/p>\n\n\n\n Ou bien<\/p>\n\n\n\n C\u2019est-\u00e0-dire que la somme des probabilit\u00e9s est inf\u00e9rieure \u00e0 1 \u00e0 cause d\u2019une perte ou mortalit\u00e9 pendant la phase de dispersion. Prenons un exemple simple, une plante sur une \u00eele. Au moment de la dispersion, une partie des graines seront pouss\u00e9es vers la mer. Il y aura donc une perte.<\/p>\n\n\n\n Un autre \u00e9l\u00e9ment \u00e0 tenir en compte est que, en formulant ainsi notre dispersion, on consid\u00e8re que celle-ci se produit de la m\u00eame fa\u00e7on dans toutes les directions. On dit que la dispersion est isotropique<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Nous allons voir ici deux types de fonctions noyau les plus courantes, mais il en existe bien d\u2019autres.<\/p>\n\n\n\n Le plus utilis\u00e9 des noyaux est le noyaux Gaussien<\/strong>, dit d\u2019une distribution normale. C\u2019est une fonction qui donne les probabilit\u00e9s d\u2019un ph\u00e9nom\u00e8ne al\u00e9atoire. Il est caract\u00e9ris\u00e9 par le fait d\u2019\u00eatre centr\u00e9 sur la moyenne des valeurs du ph\u00e9nom\u00e8ne, et d\u2019un param\u00e8tre d\u00e9terminant la dispersion des valeurs, autour de la moyenne, la variance (\u01a1\u00b2<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n La fonction se pr\u00e9sente sous la forme<\/p>\n\n\n\n Et si pour une obscure raison vous \u00eates int\u00e9ress\u00e9 par sa formule, celle-ci est :<\/p>\n\n\n\n Paradoxalement, ce type de fonction est la plus utilis\u00e9 dans le domaine des statistiques, et en m\u00eame temps une des moins intuitives. Quand on dit que cette courbe \u00ab exprime la moyenne des carr\u00e9s des \u00e9carts \u00e0 la moyenne, aussi \u00e9gale \u00e0 la diff\u00e9rence entre la moyenne des carr\u00e9s des valeurs de la variable et le carr\u00e9 de la moyenne <\/em>\u00bb on a tout dit. Il faut un niveau d\u2019abstraction assez \u00e9lev\u00e9 pour traduire ceci en termes pratiques.<\/p>\n\n\n\n On peut toutefois dire que la distance parcourue d\u00e9cro\u00eet exponentiellement avec le carr\u00e9 de la distance. C\u00f4t\u00e9 pratique, on peut dire que les deux tiers des insectes se d\u00e9placeront au maximum d\u2019un \u00e9cart-type (\u01a1\u00b2) ou que les deux tiers des graines retomberont dans un rayon d\u2019un \u00e9cart-type<\/p>\n\n\n\n Voyons une autre fonction tr\u00e8s utilis\u00e9 pour les noyaux.<\/p>\n\n\n\n Dans de nombreuses \u00e9tudes on observe une diminution plus lente en fonction de la distance. On mod\u00e9lise cette fonction avec une fonction de Laplace<\/strong> qui pr\u00e9sente la forme :<\/p>\n\n\n\n Vous remarquerez que le niveau de probabilit\u00e9s de la moyenne est plus \u00e9lev\u00e9 que dans la fonction Gaussienne et qu\u2019on trouvera beaucoup plus d\u2019observations dans la fourchette d\u2019un \u00e9cart-type.<\/p>\n\n\n\n De m\u00eame que pour la fonction Gaussienne, la formule de Laplace est :<\/p>\n\n\n\n La figure suivante montre les deux fonctions pour une valeur de \u01a1\u00b2=1<\/p>\n\n\n\n Paradoxalement aussi, m\u00eame si cette fonction para\u00eet plus compliqu\u00e9e \u00e0 premi\u00e8re vue, elle est plus simple \u00e0 appliquer dans une \u00e9tude.<\/p>\n\n\n\n Consid\u00e9rons par exemple un insecte. Cet insecte va se d\u00e9placer au hasard, sans aucune corr\u00e9lation ni biais dans un paysage totalement homog\u00e8ne. On peut consid\u00e9rer de mani\u00e8re simpliste, que la probabilit\u00e9 de s\u2019arr\u00eater et pondre est la m\u00eame tout au long du temps. Si on calcule la fonction correspondante \u00e0 un d\u00e9placement al\u00e9atoire avec probabilit\u00e9 constante de s\u2019arr\u00eater on tombe sur la fonction de Laplace.<\/p>\n\n\n\n Nous avons fait le tour des principales bases qui constituent la mod\u00e9lisation int\u00e9gro-diff\u00e9rentielle. Bien s\u00fbr que la r\u00e9alit\u00e9 peut \u00eatre beaucoup plus complexe, mais c\u2019est \u00e0 partir de ces bases que l\u2019on peut se poser la question si ce type de mod\u00e8le est appropri\u00e9 pour nos donn\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n Le plus difficile est l\u2019extension par similarit\u00e9 de l\u2019application de ce mod\u00e8le. Dans les exemples d\u2019application de ce mod\u00e8le dans la litt\u00e9rature on voit qu\u2019il est le meilleur mod\u00e8le pour traiter les donn\u00e9es de r\u00e9flectivit\u00e9 du radar m\u00e9t\u00e9orologique de Sydney. Quel lien entre nos fameux insectes et plantes et la r\u00e9flectivit\u00e9 radar ? Pas d\u2019\u0153ufs ni de graines dans les nuages, mais si on r\u00e9fl\u00e9chit bien, la n\u00e9bulosit\u00e9 au temps t+1<\/em><\/strong> peut bien \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme r\u00e9sultante de la n\u00e9bulosit\u00e9 au temps t<\/em><\/strong> (le pas de temps entre observations est de 5 minutes) plus un apport des cellules voisines. On a bien notre fonction de croissance et notre noyau de dispersion.<\/p>\n\n\n\n Ceci montre bien l\u2019int\u00e9r\u00eat qu\u2019on peut porter \u00e0 cette m\u00e9thode de mod\u00e9lisation, et justifie, peut-\u00eatre, l\u2019investissement en temps et les efforts d\u2019appr\u00e9hender cette technique de mod\u00e9lisation.<\/p>\n\n\n\nLes buts de la mod\u00e9lisation<\/h2>\n\n\n\n
Les deux grands types de m\u00e9thode de mod\u00e9lisation<\/h2>\n\n\n\n
Les mod\u00e8les descriptifs et les mod\u00e8les dynamiques<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/i0.wp.com\/www.sigterritoires.fr\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/img1.png?ssl=1\")
<\/a><\/figure>\n\n\n\n<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\nLes diff\u00e9rents types de temps<\/h2>\n\n\n\n
<\/a><\/figure>\n\n\n\nLes familles de mod\u00e8les dynamiques<\/h2>\n\n\n\n
<\/a><\/figure>\n\n\n\nLes bases du mod\u00e8le<\/h2>\n\n\n\n
<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n<\/a><\/figure>\n\n\n\nLa croissance<\/h2>\n\n\n\n
Croissance lin\u00e9aire<\/h3>\n\n\n\n
<\/a><\/figure>\n\n\n\nCroissance avec comp\u00e9tition<\/h3>\n\n\n\n
<\/a><\/figure>\n\n\n\n<\/a><\/figure>\n\n\n\nCroissance \u00ab expansion\/r\u00e9cession \u00bb<\/h3>\n\n\n\n
<\/a><\/figure>\n\n\n\nEffet de groupe<\/h3>\n\n\n\n
<\/a><\/figure>\n\n\n\n<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\nLe noyau de dispersion<\/h2>\n\n\n\n
<\/a><\/figure>\n\n\n\nNoyau gaussien<\/h3>\n\n\n\n
<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n<\/a><\/figure>\n\n\n\nNoyau Laplacien.<\/h3>\n\n\n\n
<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n<\/a><\/figure>\n\n\n\n<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\nConclusion<\/h2>\n\n\n\n
Bibliographie pour aller plus loin<\/h1>\n\n\n\n