En la primera parte de esta serie, vimos cómo la lógica difusa permite superar los umbrales rígidos asignando a cada entidad espacial un grado de pertenencia comprendido entre 0 y 1.
Exploramos varias funciones de pertenencia, desde la lineal simple hasta la gaussiana, para traducir una variable bruta en un indicador difuso.

Pero un mapa difuso, por sí solo, no siempre es suficiente.
En el análisis espacial, a menudo se desea cruzar varios criterios: por ejemplo, combinar la accesibilidad al agua potable, la pendiente del terreno y la densidad de la vegetación para identificar las zonas favorables para el desarrollo.
Aquí es donde entra en juego la agregación difusa, un paso clave que permite fusionar varias capas de información conservando los matices de los grados de pertenencia.

En este artículo veremos:

• los principios básicos de la agregación difusa,
• las principales funciones de agregación (mínimo, máximo, media, t-normas, etc.),
• y cómo se aplican concretamente en un SIG.

Introducción

Imaginemos que disponemos de un conjunto Ω de objetos que hay que clasificar en función de una serie de criterios C.

El número de objetos es limitado y, para cada criterio, los valores posibles son claramente identificables.

Para simplificar, podemos considerar cada objetivo como un «filtro difuso» que define qué valores de un criterio se consideran aceptables. En otras palabras, cada objetivo impone un cierto orden de preferencia sobre el conjunto Ω.

En nuestro estudio, Ω representa todos los píxeles de la zona que queremos analizar para evaluar su potencial para albergar instalaciones de acuicultura.

Los criterios C corresponden a las capas de datos disponibles: batimetría, pendiente, naturaleza del sustrato, productividad, etc.

Cada capa toma valores fáciles de interpretar: favorable, poco favorable, desfavorable, etc.

Para cada una de estas capas, se establece un objetivo.

Por ejemplo:

• para la batimetría → «al menos favorable»
• para la productividad → «al menos poco favorable»

En la práctica, el objetivo corresponde al subconjunto de valores aceptados para ese criterio.

Por último, partimos de la hipótesis de que, para cada capa, es posible clasificar todos los píxeles según ese objetivo; en otras palabras, sabemos determinar para cada píxel el valor exacto correspondiente a la capa.

Principio del enfoque

Para cada criterio (o capa de información), el objetivo fijado se describe en forma de conjunto difuso.

• Los valores de los píxeles situados en el núcleo son perfectamente compatibles con el objetivo.
• Los que se encuentran fuera del soporte son totalmente incompatibles.

Por ejemplo, si solo se utilizan dos categorías (favorable y desfavorable), la batimetría se puede representar así:

Figura 1 – Representación difusa del criterio «batimetría» con dos grados de satisfacción.

En realidad, rara vez es posible estimar con exactitud una función matemática que relacione la profundidad con la idoneidad de un lugar para el cultivo de ostras.
Sin embargo, la forma de la curva difusa permite traducir las preferencias o el comportamiento del responsable de la toma de decisiones.

Por eso, en lugar de limitarse a dos niveles, se suele utilizar una escala discreta de 5 a 7 niveles, lo que se corresponde con la precisión de percepción generalmente aceptada.
Un método sencillo consiste en expresar estos niveles de compatibilidad en lenguaje natural (muy bien, bien, bastante bien, etc.) y luego convertirlos en valores numéricos normalizados entre 0 y 1, como en la siguiente tabla:

Tabla 1 – Convenciones para expresar los niveles de compatibilidad de los objetivos

La ventaja de representar un criterio mediante un intervalo difuso es que se obtiene una descripción más flexible y rica.

El responsable de la toma de decisiones no tiene que elegir entre una visión pesimista (límites amplios) u optimista (límites estrechos):

• el soporte del conjunto difuso corresponde al intervalo pesimista,
• el núcleo corresponde al intervalo optimista.

Por ejemplo:

Si consideramos que es imposible criar ostras a menos de 4 m de profundidad o a más de 25 m, pero que las condiciones ideales se dan entre 8 m y 12 m, obtenemos el siguiente objetivo:

Figura 2: Representación difusa del criterio «batimetría» con cinco grados de satisfacción.

La agregación de criterios

Procedimiento para determinar la operación de agregación.

En el caso de la agregación de dos objetivos, existe un procedimiento sencillo para determinar el tipo de operación que se debe realizar. Consiste en proponer al responsable de la toma de decisiones tres situaciones tipo y pedirle que las evalúe. A partir de las tres respuestas dadas, se busca en un catálogo de funciones la que mejor se adapta a los deseos del responsable de la toma de decisiones.

Las tres situaciones tipo (Si, S2, S3) se eligen en función de los dos criterios (C1, C2) de manera que:

• – S1 sea incompatible (nota E o 0) con C1, pero totalmente compatible (nota A o 1) con C2;
• – S2 sea medianamente compatible (nota C o 0,5) con los dos objetivos C1 y C2;
• – S3 sea medianamente compatible (nota C o 0,5) con C1 y totalmente compatible (nota A o 1) con C2.

Se obtienen tres respuestas (R1, R2, R3) a partir de las cuales se busca la operación de agregación.

Primero se considera el caso de un par de criterios y luego se estudia la generalización al caso de n criterios, donde n>2.

Hay que estudiar dos situaciones:

• a) dos criterios de igual importancia;
• b) dos criterios de importancia desigual.

A) Criterios de igual importancia.

Dos criterios de igual importancia pueden cruzarse según el principio de todo o nada o introduciendo matices. El principio de todo o nada excluye cualquier compromiso entre los dos criterios y se traduce en dos operaciones de agregación: la conjunción o la disyunción. La conjunción se utiliza en el caso de que se desee la satisfacción simultánea de los dos criterios (la «y» lógica). Es decir, que la evaluación global no puede ser mejor que la peor de las evaluaciones parciales.

Ejemplo: agregación del criterio de sustrato y productividad. Si la actitud del responsable de la toma de decisiones implica la satisfacción simultánea de ambos criterios, esto significa que si el sustrato es medianamente favorable y la productividad es muy favorable, el resultado de la agregación de ambos criterios será el más desfavorable de los dos, es decir, medianamente favorable.

La disyunción se utiliza en los casos en que los criterios son redundantes (la «o» lógica). Es decir, la evaluación global será igual a la mejor de las evaluaciones parciales. Ejemplo: agregación de los criterios «calidad del agua» y «productividad». Si la actitud del responsable de la toma de decisiones implica una redundancia de estos dos criterios, esto significa que si la calidad del agua es media y la productividad es muy buena, el resultado de la agregación será el más favorable de los dos, es decir, «muy bueno».

Una tercera actitud del responsable de la toma de decisiones deja de lado el todo o nada para introducir matices en la agregación. Si los objetivos se matizan, el compromiso entre los dos criterios se convierte en una de las actitudes naturales del responsable de la toma de decisiones.

El compromiso se traduce en que la evaluación global se sitúa en un nivel intermedio entre las evaluaciones parciales. Retomando el ejemplo de la calidad del agua y la productividad, si tenemos una calidad media y una productividad excelente, el resultado será, por ejemplo, «bueno».

En conjuntos difusos, este tipo de operación conjuntista se realiza mediante dos familias de operaciones de agregación: las sumas simétricas y las medianas parametrizadas.

Entre las medianas parametrizadas se encuentran la media armónica \(\frac{2xy}{x+y}\),

la media geométrica \(\sqrt{xy}\), la media aritmética \(\frac{x+y}{2}\), etc.

Las sumas simétricas son del tipo: \(\sigma_0 = \frac{xy}{1 – x – y + 2xy}\) ,\(\sigma_+ = \frac{x + y – xy}{1 – x – y – 2xy}\) , etc.

Dos criterios tienen la misma importancia si la función de agregación es simétrica, es decir, si la respuesta a las tres preguntas de evaluación es la misma si se invierte el orden de los criterios.

En este caso, a partir de las tres respuestas (R1, R2, R3) se busca la operación de agregación en la siguiente tabla:

Importancia y discriminación de un criterio

No hay que confundir la importancia desigual con el umbral de discriminación de un criterio.

Por umbral de discriminación se entiende la relación entre el intervalo correspondiente a un criterio y el ámbito global de variación de los valores.

Por ejemplo, si las profundidades varían entre 0 y 30 m, establecer como criterio el número difuso (4, 10, 20, 26) es menos selectivo que (11, 12, 14, 15). Se observa que, por lo general, cuanto más importante es un objetivo para un responsable de la toma de decisiones, más tenderá a definir soportes y núcleos estrechos y, por el contrario, cuanto menos importante sea un criterio, más tenderá a establecer límites lejanos.

Esta es una forma de traducir una cierta idea de la importancia de los criterios, pero sigue estando dentro del ámbito de lo que llamamos criterios de igual importancia. Otra forma muy extendida de expresar la importancia desigual de los criterios es la ponderación de los objetivos: se asigna un peso a cada objetivo y se integra ese peso en la operación de agregación. Este método tiene el inconveniente, por un lado, de que no se puede aplicar si se manipulan otros datos que no sean números, y por otro, de que la evaluación a priori de los pesos es problemática.

B) Criterios de importancia desigual.

La solución implementada en el complemento consiste en añadir una cuarta pregunta. Tenemos S1(E,A), S2(C,C), S3(C,A). Añadimos S4(A,E), es decir, la pregunta simétrica a S1 que incluye una propuesta totalmente compatible con el criterio C1 y otra totalmente incompatible con el criterio C2. Todas las respuestas que forman un dúo S1,S4 (AA,BB,CC,DD,EE) remiten al tratamiento de criterios de igual importancia.

Cuando un usuario define una función de agregación difusa a partir de respuestas no simétricas (por ejemplo, algunos criterios considerados más importantes que otros, o combinaciones consideradas atípicas), el plugin utiliza un método de aproximación para generar automáticamente una función de agregación personalizada.

La función generate_asymmetric_function(código):

• Puntos clave definidos por el usuario

  • El usuario elige cuatro valores de agregación correspondientes a situaciones de referencia:

    • (1, 0): criterio A totalmente verdadero, criterio B totalmente falso->vA1B0
    • (0,5, 0,5): ambos criterios medios->vA05B05
    • (0,5, 1): criterio A medio, criterio B totalmente verdadero->vA05B1
    • (0, 1): criterio A totalmente falso, criterio B totalmente verdadero->vA0B1

  • Estos valores se codifican en forma de código de 4 dígitos (cada dígito del 0 al 4 corresponde a un grado de satisfacción entre 1,0 y 0,0).

• Construcción de la función difusa

  • Para los cuatro puntos clave, los valores se asignan directamente.
  • Construcción de la función difusa
  • Para los cuatro puntos clave, los valores se asignan directamente.
  • Para todas las demás combinaciones (x, y), el valor se calcula mediante interpolación bilineal ponderada, utilizando la fórmula:

    • vA05B05⋅x⋅y+vA05B1⋅x⋅∣x−y∣+vA0B1⋅(1−x)⋅y

  • Esta fórmula permite obtener una superficie continua que sigue siendo coherente con los puntos clave definidos.

• Resultado

  • La función devuelta se puede aplicar a cualquier par (x, y) de valores difusos.
  • También se devuelve un diccionario de parámetros que documenta el tipo, el código, los puntos clave y la fórmula de aproximación.

Método de ajuste para criterios simétricos inusuales

Los tríos presentados en la tabla de funciones anterior cumplen las siguientes restricciones:

1) R3 >= max( R1,R2), la evaluación de una situación que cumple completamente el criterio 2 y medianamente el criterio 1 debe ser al menos igual a la mejor evaluación de las otras dos situaciones (R1 y R2), una de las cuales no cumple en absoluto el primer criterio y la otra cumple medianamente los dos criterios;

2) R3 >= nota C o 0,5, la satisfacción total del segundo criterio no puede hacer que la satisfacción global caiga por debajo del nivel de satisfacción del primer criterio.

Pero si esta lógica se utiliza en la mayoría de las aplicaciones, es posible que no sea válida en situaciones muy particulares. En este caso, el plugin utiliza la función generate_fuzzy_function(code) para generar automáticamente una función de agregación adecuada.

Un mensaje de advertencia indica que se trata de una combinación inusual de respuestas.

1. Puntos clave definidos por el usuario

   • El usuario define tres situaciones de referencia, codificadas con tres dígitos (de 0 a 4) que representan un grado de agregación comprendido entre 1,0 y 0,0:

     • (1, 0) o (0, 1): un criterio totalmente verdadero, el otro totalmente falso.->v1
     • (0,5, 0,5): los dos criterios medios. ->v2
     • (0,5, 1) o (1, 0,5): un criterio medio, el otro totalmente verdadero. ->v3

2. Construcción de la función difusa simétrica

   • Los valores de los tres puntos clave se asignan directamente según el código proporcionado.
   • Para todos los demás pares (x, y), el valor se estima mediante interpolación continua con la fórmula:

     • v2⋅x⋅y+v3⋅∣x−y∣

   • Se respeta la simetría porque la fórmula y los puntos clave son idénticos si se intercambian x e y.

3. Resultado

   • La función devuelta se puede aplicar a cualquier par (x, y) de valores difusos.
   • También se devuelve un diccionario de parámetros que documenta el tipo, el código, los puntos clave y la fórmula de aproximación.

Conclusión y perspectivas

La integración de la lógica difusa en los SIG abre nuevas posibilidades para representar la realidad geográfica de una manera más matizada. Con FuzzyAttributes, el usuario ya no está limitado a umbrales arbitrarios o enfoques binarios: puede modelar la gradación de un fenómeno, combinar varios criterios y explorar escenarios más cercanos a la complejidad del terreno.

Más allá del análisis individual de los criterios, la función de agregación difusa permite sintetizar información heterogénea, teniendo en cuenta las prioridades y las asimetrías entre criterios. Esto la convierte en una herramienta especialmente relevante para ámbitos como la ordenación del territorio, la evaluación medioambiental o la gestión de riesgos.

Los futuros desarrollos del complemento podrían incluir:

• la incorporación de nuevas familias de funciones difusas y de agregación,
• herramientas de visualización más interactivas de las funciones de pertenencia,
• la integración de métodos de optimización para ajustar automáticamente los parámetros,
• una mejor compatibilidad con los procesamientos por lotes y los modelos QGIS.

Este complemento es y seguirá siendo libre y abierto: cualquier contribución es bienvenida, ya sean mejoras en el código, traducciones, ejemplos de uso o comentarios sobre la experiencia.

Explorando juntos estos enfoques, podremos seguir haciendo evolucionar los SIG hacia herramientas capaces de representar la complejidad, la incertidumbre

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Atilio Francois