Na primeira parte desta série, vimos como a lógica difusa permite ultrapassar os limites rígidos, atribuindo a cada entidade espacial um grau de pertencimento compreendido entre 0 e 1.
Exploramos várias funções de pertencimento, desde a linear simples até a gaussiana, para traduzir uma variável bruta em um indicador difuso.

Mas um mapa difuso, por si só, nem sempre é suficiente.
Na análise espacial, muitas vezes se deseja cruzar vários critérios: por exemplo, combinar a acessibilidade à água potável, a inclinação do terreno e a densidade da vegetação para identificar as áreas favoráveis ao desenvolvimento.
É aqui que entra a agregação difusa — uma etapa fundamental que permite fundir várias camadas de informação, mantendo a nuance dos graus de pertencimento.

Neste artigo, veremos:

• os grandes princípios da agregação difusa,
• as principais funções de agregação (mínimo, máximo, média, t-normas, etc.),
• e como elas se aplicam concretamente em um SIG.

Introdução

Imaginemos que temos um conjunto Ω de objetos a classificar de acordo com um determinado número de critérios C.

O número de objetos é limitado e, para cada critério, os valores possíveis são claramente identificáveis.

Para simplificar, podemos ver cada objetivo como um “filtro difuso” que define quais valores de um critério são considerados aceitáveis. Em outras palavras, cada objetivo impõe uma certa ordem de preferência sobre o conjunto Ω.

Em nosso estudo, Ω representa todos os pixels da área que desejamos analisar para avaliar seu potencial para receber locais de aquicultura.

Os critérios C correspondem às camadas de dados disponíveis: batimetria, inclinação, natureza do substrato, produtividade, etc.

Cada camada assume valores simples de interpretar: favorável, pouco favorável, desfavorável, etc.

Para cada uma dessas camadas, é definido um objetivo.

Por exemplo:

• para a batimetria → “pelo menos favorável”
• para a produtividade → “pelo menos pouco favorável”

Na prática, a meta corresponde ao subconjunto de valores aceitos para esse critério.

Por fim, partimos do princípio de que, para cada camada, é possível classificar todos os pixels de acordo com essa meta — ou seja, sabemos determinar para cada pixel o valor exato correspondente à camada.

Princípio da abordagem

Para cada critério (ou camada de informação), o objetivo definido é descrito como um conjunto difuso.

• Os valores dos pixels localizados no núcleo são perfeitamente compatíveis com o objetivo.
• Aqueles que estão fora do suporte são totalmente incompatíveis.

Por exemplo, se forem utilizadas apenas duas categorias (favorável e desfavorável), a batimetria poderá ser representada da seguinte forma:si :

Figura 1 – Representação difusa do critério “batimetria” com dois graus de satisfação

Na realidade, raramente é possível estimar com exatidão uma função matemática que relacione a profundidade à adequação de um local para a criação de ostras.
Por outro lado, a forma da curva difusa permite traduzir as preferências ou o comportamento do decisor.

É por isso que, em vez de se limitar a dois níveis, costuma-se usar uma escala discreta de 5 a 7 níveis, o que corresponde à precisão de percepção geralmente aceita.
Um método simples consiste em expressar esses níveis de compatibilidade em linguagem natural (muito bom, bom, razoavelmente bom, etc.) e, em seguida, convertê-los em valores numéricos normalizados entre 0 e 1, como na tabela a seguir:

Tabela 1 – Convenções para expressar os níveis de compatibilidade dos objetivos

A vantagem de representar um critério por um intervalo difuso é que se obtém uma descrição mais flexível e rica.

O decisor não tem de escolher entre uma visão pessimista (limites amplos) ou otimista (limites restritos):

• o suporte do conjunto difuso corresponde ao intervalo pessimista,
• o núcleo corresponde ao intervalo otimista.

Por exemplo:

Se considerarmos que é impossível criar ostras a menos de 4 m de profundidade ou a mais de 25 m, mas que as condições ideais se situam entre 8 m e 12 m, obtemos o seguinte objetivo:

Figura 2 – Representação difusa do critério “batimetria” com cinco graus de satisfação

A agregação de critérios

Procedimento para determinar a operação de agregação.

No caso da agregação de dois objetivos, existe um procedimento simples para determinar o tipo de operação a ser realizada. Consiste em propor ao decisor três situações típicas e pedir-lhe que as avalie. A partir das três respostas dadas, procura-se num catálogo de funções aquela que melhor corresponde aos desejos do decisor.

As três situações típicas (S1, S2, S3) são escolhidas em função dos dois critérios (C1, C2) de forma que:

• – S1 seja incompatível (nota E ou 0) com C1, mas totalmente compatível (nota A ou 1) com C2;
• – S2 seja moderadamente compatível (nota C ou 0,5) com os dois objetivos C1 e C2;
• – S3 seja moderadamente compatível (nota C ou 0,5) com C1 e totalmente compatível (nota A ou 1) com C2.

Obtêm-se três respostas (R1, R2, R3) a partir das quais se procura a operação de agregação.

Considera-se primeiro o caso de um par de critérios e, em seguida, estuda-se a generalização para o caso de n critérios, onde n>2.

Há duas situações a serem estudadas:

• a) dois critérios de igual importância;
• b) dois critérios de importância desigual.

A) Critérios de igual importância.

Dois critérios de igual importância podem ser cruzados de acordo com o princípio do tudo ou nada ou introduzindo nuances. O princípio do tudo ou nada exclui qualquer compromisso entre os dois critérios e se traduz em duas operações de agregação: a conjunção ou a disjunção. A conjunção é usada no caso em que se deseja a satisfação simultânea dos dois critérios (o “e” lógico). Ou seja, a avaliação global não pode ser melhor do que a pior das avaliações parciais.

Exemplo: agregação do critério substrato e produtividade. Se a atitude do decisor implica a satisfação simultânea dos dois critérios, isso significa que se o substrato for moderadamente favorável e a produtividade for muito favorável, o resultado da agregação dos dois critérios será o mais desfavorável dos dois, ou seja, moderadamente favorável.

A disjunção é utilizada nos casos em que os critérios são redundantes (o “ou” lógico). Ou seja, a avaliação global será igual à melhor das avaliações parciais. Exemplo: agregação dos critérios “qualidade da água” e “produtividade”. Se a atitude do decisor implica uma redundância destes dois critérios, isso significa que se a qualidade da água for média e a produtividade for muito boa, o resultado da agregação será o mais favorável dos dois, ou seja, “muito bom”.

Uma terceira atitude do decisor deixa de lado o tudo ou nada para introduzir nuances na agregação. Se os objetivos se tornam matizados, o compromisso entre os dois critérios torna-se uma das atitudes naturais do decisor.

O compromisso traduz-se no fato de que a avaliação global se situa num nível intermediário entre as avaliações parciais. Retomando o exemplo da qualidade da água e da produtividade, se tivermos uma qualidade média e uma produtividade excelente, o resultado será, por exemplo, “bom”.

Em conjuntos difusos, realizamos esse tipo de operação conjuntista com a ajuda de duas famílias de operações de agregação: somas simétricas e medianas parametrizadas.

Entre as medianas parametrizadas, encontramos a média harmônica \(\frac{2xy}{x+y}\),

a média geométrica \(\sqrt{xy}\), a média aritmética \(\frac{x+y}{2}\), etc.

As somas simétricas são do tipo: \(\sigma_0 = \frac{xy}{1 – x – y + 2xy}\) ,\(\sigma_+ = \frac{x + y – xy}{1 – x – y – 2xy}\) , etc.

Dois critérios têm a mesma importância se a função de agregação for simétrica, ou seja, se a resposta às três perguntas de avaliação for a mesma quando se inverte a ordem dos critérios.

Nesse caso, a partir das três respostas (R1, R2, R3), procura-se a operação de agregação na tabela a seguir:

Importância e discriminação de um critério

Não se deve confundir a importância desigual com o limiar de discriminação de um critério.

Por limiar de discriminação entende-se a relação entre o intervalo correspondente a um critério e o domínio global de variação dos valores.

Por exemplo, se as profundidades variam entre 0 e 30 m, definir como critério o número impreciso (4, 10, 20, 26) é menos seletivo do que (11,12,14,15). Observa-se que, geralmente, quanto mais um objetivo é considerado importante por um tomador de decisão, mais ele tenderá a definir suportes e núcleos estreitos e, ao contrário, quanto menos ele considera importante um critério, mais tenderá a estabelecer limites distantes.

Essa é uma maneira de traduzir uma certa ideia de importância dos critérios, mas permanece no domínio do que chamamos de critérios de igual importância. Outra forma muito comum de expressar a importância desigual dos critérios é a ponderação dos objetivos: atribui-se um peso a cada objetivo e integra-se esse peso na operação de agregação. Este método tem a desvantagem, por um lado, de não poder ser aplicado se se manipular outra coisa que não números e, por outro, de a avaliação a priori dos pesos ser problemática.

B) Critérios de importância desigual.

A solução implementada no plugin consiste em adicionar uma quarta pergunta. Temos S1(E,A), S2(C,C), S3(C,A). Adicionamos S4(A,E), ou seja, a pergunta simétrica a S1, com uma proposta totalmente compatível com o critério C1 e outra totalmente incompatível com o critério C2. Todas as respostas que formam um par S1,S4 (AA,BB,CC,DD,EE) remetem ao tratamento de critérios de igual importância.

Quando um usuário define uma função de agregação difusa a partir de respostas não simétricas (por exemplo, alguns critérios considerados mais importantes do que outros ou combinações consideradas atípicas), o plugin usa um método de aproximação para gerar automaticamente uma função de agregação personalizada.

A função generate_asymmetric_function(code):

1. Pontos-chave definidos pelo usuário

   • O usuário escolhe quatro valores de agregação correspondentes a situações de referência:

     • (1, 0): critério A totalmente verdadeiro, critério B totalmente falso->vA1B0
     • (0,5, 0,5): os dois critérios médios->vA05B05
     • (0,5, 1): critério A médio, critério B totalmente verdadeiro->vA05B1
     • (0, 1): critério A totalmente falso, critério B totalmente verdadeiro->vA0B1

   • Esses valores são codificados na forma de um código de 4 dígitos (cada dígito de 0 a 4 corresponde a um grau de satisfação entre 1,0 e 0,0).

2. Construção da função difusa

   • Para os quatro pontos-chave, os valores são atribuídos diretamente.Construção da função difusa
   • Para os quatro pontos-chave, os valores são atribuídos diretamente.
   • Para todas as outras combinações (x, y), o valor é calculado por interpolação bilinear ponderada, usando a fórmula:

     • vA05B05⋅x⋅y+vA05B1⋅x⋅∣x−y∣+vA0B1⋅(1−x)⋅y

   • Esta fórmula permite obter uma superfície contínua que permanece coerente com os pontos-chave definidos.

3. Resultado

   • A função retornada pode ser aplicada a qualquer par (x, y) de valores difusos.
   • Um dicionário de parâmetros também é retornado, documentando o tipo, o código, os pontos-chave e a fórmula de aproximação.

Método de ajuste para critérios simétricos incomuns

Os tripletos apresentados na tabela de funções acima respeitam as seguintes restrições:

1) R3 >= max( R1,R2), a avaliação de uma situação que satisfaz completamente o critério 2 e moderadamente o critério 1 deve ser pelo menos igual à melhor avaliação das outras duas situações (R1 e R2), uma das quais não satisfaz de todo o primeiro critério e a outra satisfaz apenas moderadamente os dois critérios;

2) R3 >= nota C ou 0,5, a satisfação total do segundo critério não pode fazer com que a satisfação global caia abaixo do nível de satisfação do primeiro critério.

Mas se essa lógica for usada na maioria das aplicações, ela pode não estar de acordo em situações muito específicas. Nesse caso, o plugin usa a função generate_fuzzy_function(code) para gerar automaticamente uma função de agregação adequada.

Uma mensagem de aviso indica que se trata de uma combinação incomum de respostas.

1. Pontos-chave definidos pelo utilizador

   • O utilizador define três situações de referência, codificadas com três dígitos (de 0 a 4) que representam um grau de agregação compreendido entre 1,0 e 0,0:

     • (1, 0) ou (0, 1): um critério totalmente verdadeiro, o outro totalmente falso. -> v1
     • (0,5, 0,5): os dois critérios médios. ->v2
     • (0,5, 1) ou (1, 0,5): um critério médio, o outro totalmente verdadeiro. ->v3

2. Construção da função difusa simétrica

   • Os valores dos três pontos-chave são atribuídos diretamente de acordo com o código fornecido.
   • Para todos os outros pares (x, y), o valor é estimado por interpolação contínua com a fórmula:

     • v2⋅x⋅y+v3⋅∣x−y∣

   • A simetria é respeitada porque a fórmula e os pontos-chave são idênticos se trocarmos x e y.

3. Resultado

   • A função retornada pode ser aplicada a qualquer par (x, y) de valores difusos.
   • Um dicionário de parâmetros também é retornado, documentando o tipo, o código, os pontos-chave e a fórmula de aproximação.

Conclusão e perspectivas

A integração da lógica difusa nos SIG abre novas possibilidades para representar a realidade geográfica de forma mais matizada. Com o FuzzyAttributes, o usuário não está mais limitado a limites arbitrários ou abordagens binárias: ele pode modelar a gradação de um fenômeno, combinar vários critérios e explorar cenários mais próximos da complexidade do terreno.

Além da análise individual dos critérios, a função de agregação difusa permite sintetizar informações heterogêneas, levando em consideração as prioridades e assimetrias entre os critérios. Isso o torna uma ferramenta particularmente relevante para áreas como planejamento territorial, avaliação ambiental ou gestão de riscos.

Os desenvolvimentos futuros do plugin podem incluir:

• a adição de novas famílias de funções difusas e de agregação,
• ferramentas de visualização mais interativas das funções de pertencimento,
• a integração de métodos de otimização para ajustar automaticamente os parâmetros,
• uma melhor compatibilidade com processamentos em lote e modelos QGIS.

Este plugin é e continuará sendo gratuito e aberto: todas as contribuições são bem-vindas, sejam elas melhorias no código, traduções, exemplos de uso ou feedback.

Ao explorarmos juntos essas abordagens, poderemos continuar a desenvolver os SIGs para que se tornem ferramentas capazes de representar a complexidade, a incerteza

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Atilio Francois