Equations intégro-différentielles (IDE) pour les nuls

Chapitre 1 – Les bases de la modélisation IDE

Plantons le décor : d’une manière ou d’une autre, nous avons rassemblé un lot de données qui nous intéressent. Mais une fois qu’on a nos données, le problème se pose : que peut-on faire avec ?

Nos observations sont réparties sur un territoire, on va produire des cartes pour mieux voir comment se distribuent les valeurs.

Nous avons de données chronologiques, nous pouvons faire une animation des différentes cartes pour chaque période mesurée.

Malgré la satisfaction quand on arrive à produire des cartes et des animations bien conçues, il n’est pas rare de garder un sentiment de frustration de ne pas aller plus loin, de ne pas rester à ce qui se passe, mais à rentrer dans le pourquoi ça se passe.

Dès qu’on veut comprendre le ou les phénomènes qui sont à l’origine de nos données on aborde le domaine de la modélisation des données.

Parmi les différents types de données, nous allons rester dans un type de données précis : des données mesurées au cours du temps sur un espace donné, ce qu’on catalogue comme données spatio-temporelles.

Les buts de la modélisation

Notre objectif, devant ce type de données peut être un parmi les trois buts les plus classiques dans ce domaine :

  • Calculer des données manquantes (interpolation/extrapolation). En anglais on parle de « prediction » en opposition à « forecasting ». Prediction ne fait pas référence au futur mais au passé et au présent. Quand vous interpolez les valeurs de vos observations pour avoir une carte continue, en anglais vous êtes en train de « prédire » les valeurs qu’il y a entre vos points d’observations.
  • Prévoir les valeurs sur notre zone géographique à des moments futurs, futur par rapport au dernier pas de temps de nos données (le forecasting en anglais). Si nous avons des données observées entre 2001 et 2015, calculer les valeurs pour 2016 c’est toujours de la prévision, même si on est en 2021.
  • Comprendre les paramètres qui contrôlent le processus observé, ou plus simplement déduire l’effet des variations de ces paramètres sur nos observations.

Les deux grands types de méthode de modélisation

Pour atteindre un ou plusieurs de ces objectifs nous serons obligés de trouver un moyen mathématique de réaliser ces calculs.

Ces moyens mathématiques sont de deux ordres :

  • Les méthodes déterministes, et
  • Les méthodes statistiques

Prenons, par exemple, les gouttes de pluie qui tombent sur une surface. Pour prédire exactement où et quand chaque goutte tombera, il faudrait un modèle météorologique déterministe inconcevable et complexe, intégrant la pression de l’air, la vitesse du vent, la formation de gouttelettes d’eau, et ainsi de suite. Un modèle de ce genre à grande échelle spatiale est non seulement irréalisable, mais aussi inutile à de nombreuses fins.

En étudiant la quantité de pluie tombée sur une grille spatiale régulière, on peut arriver à prévoir cette valeur de manière statistique, même si l’emplacement exact et l’heure de chaque goutte de pluie qui va tomber sont incertains.

Un autre exemple plus familier pour les géomaticiens est l’interpolation spatiale des données. La méthode la plus simple est la pondération par l’inverse de la distance (IDW). Quand on a deux points A et B avec une valeur donnée, les points intermédiaires sont calculés en donnant un poids proportionnel aux valeurs A et B selon la distance qui sépare le point intermédiaire à chacun des points. Par exemple, si le point se trouve à mi-chemin entre A et B, la valeur interpolée sera égale à la moitié de A plus la moitié de B.

On dit que cette méthode est déterministe parce que, une fois donnée la distance entre le point à interpoler, le calcul ne peut avoir qu’un seul résultat. La valeur au point intermédiaire est déterminée par les points qui l’entourent.

Mais il existe aussi une méthode appelée krigeage qui permet de réaliser les interpolations. Cette méthode cherche à savoir quelle est la relation entre la distance qui séparent les points des observations et les valeurs mesurées. Une fois trouvé quelle fonction représente au mieux cette variation, c’est cette fonction qui est utilisée. Si on a des mesures de hauteur de terrain sur une grande zone géographique, et que nous avons à interpoler entre deux crêtes de montagnes, une méthode déterministe va trouver une valeur proche des crêtes, même si on sait qu’entre deux crêtes il y a forcément une vallée.

Le krigeage, en principe, arrive à déterminer que les valeurs de hauteur, à partir d’une crête vont d’abord diminuer jusqu’à la vallée, puis augmenter vers l’autre crête. Le résultat sera plus proche de la réalité parce qu’on introduit dans le calcul une information tirée de l’ensemble du territoire et pas seulement des deux points concernés. Le krigeage est une méthode statistique.

Les modèles descriptifs et les modèles dynamiques

Revenons à notre modélisation. Un modèle n’est qu’une formule plus ou moins compliquée qui permet de calculer un résultat à partir d’une (ou plusieurs) valeur en entrée. Comme nous avons dit plus haut, nous considérons ici les données spatio-temporelles. Notre modèle aura donc, comme entrée une combinaison de deux informations : l’endroit et le moment. En sortie on aura nos prédictions du phénomène qui nous intéresse.

On classe les modèles en deux grandes familles, selon la manière d’utiliser l’information disponible pour les mettre en place.

La fameuse « Projection » de cette image c’est un exemple de modélisation temporelle. Avec tous nos points rouges qui représentent les observations qu’on a « ajusté », c’est-à-dire trouvé une fonction qui colle au mieux à ces points. Il suffit alors de donner en entrée le jour de demain et les suivants pour avoir la valeur de cette fonction, nos prédictions du modèle.

Ce type de démarche correspond à la première grande famille de modèles spatio-temporels : les modèles descriptifs.

Qu’est-ce qu’on peut dire de ce type de modèle ?

Tout d’abord, qu’ils sont « évidents ». Face à l’image précédente, on ne peut que s’incliner devant les prédictions. Même si cette image n’explique rien. Et il suffit d’avoir suivi à la télévision les débats interminables sur les fameuses projections de l’épidémie pour avoir intégré que ce n’est pas une courbe qui tranche le débat !

Voyons pourquoi.

La formule mathématique de notre courbe est de type :

La valeur de F (le nombre de cas sévères de Covid) est fonction de la date (x) et de deux paramètres µ et ẞ. Ces deux paramètres sont le résultat de l’ajustement des points observés. Mais qu’est-ce qu’ils représentent dans la réalité ? Impossible de relier ces paramètres à quelque chose de concret. Ce sont juste des abstractions mathématiques. D’où les interminables débats où chacun interprète la même courbe avec ses propres inférences sur le processus réel qui la motive.

En modélisant de cette façon, ce n’est pas évident de simuler l’avenir, ni de comprendre ce que le comportement de la fonction de corrélation signifie physiquement.

Un autre problème, plus conceptuel, est posé par la démarche elle-même. Quand on ajuste la fonction aux observations, on cherche la fonction qui minimise la distance entre les valeurs observées et la valeur de la fonction. Que les observations aient eu lieu hier ou il y a trois mois ou un an, cela n’a pas d’importance. Même s’il existe des méthodes descriptives plus sophistiquées pour prendre plus ou moins cela en compte, il est parfois difficile de voir cette relation entre la valeur présente et des valeurs passées.

Voyons un exemple. On habite à la campagne et on a la chance d’avoir un terrain conséquent. Chaque année il y a des chardons qui poussent. Des années il y en a beaucoup, d’autres moins. On s’amuse à les compter et à noter le nombre de chardons chaque année. Et on essaye de répondre à la question : combien de chardons il y aura l’année prochaine ?

Est-ce que le nombre de chardons il y a 15 ans vous semble pertinent pour prédire le nombre l’année prochaine ?

Laissons les mathématiques de côté et prenons le problème tel qu’il est en réalité. Chaque année, des chardons poussent sur le terrain. A un moment donné ils font des graines. Ces graines se dispersent avec le vent. L’année suivante, les graines germent et de nouveaux chardons poussent.

Logiquement, le nombre de chardons de l’année prochaine est lié au nombre de chardons de cette année : plus il y a de plants, plus il y aura de graines. Mais il n’y a pas que le nombre qui compte. Selon les conditions météorologiques les graines seront plus ou moins dispersées, plus ou moins loin. Et il se peut aussi que pour des raisons diverses (météo ou arrachage) le nombre de plants produisant des graines soit moins important que le nombre de plants de l’année.

On est en plein dans la deuxième famille de modèles, les modèles dynamiques. Ce type de modèle considère que ce qu’on aura au temps t+1 dépend de ce que l’on aura observé au temps précédent t, plus ou moins une certaine valeur qui perturbe cette évolution.

Les valeurs du passé servent ici pour comprendre ces perturbations : s’il y a 15 ans les conditions météorologiques étaient très semblables à celles de cette année, il sera plus probable que le nombre de chardons l‘année prochaine soit proche de celui d’il y a 14 ans plus que de celui de l’année dernière.

Gardez en tête cet exemple car il va nous resservir quand on arrivera aux modèles IDE qui, vous l’aurez deviné, sont des modèles dynamiques.

Les différents types de temps

Parce que, il nous reste un autre concept à mettre en place avant d’arriver à notre sujet principal.

On parle de l’espace et on parle du temps. Mais ces deux concepts embrassent des réalités bien différentes quand on commence à rentrer dans le vif du sujet.

Prenons d’abord le temps. Voici une courbe de marée. Elle montre la hauteur de la marée en fonction de l’heure de la journée.

Pour n’importe quel moment de la journée on peut avoir la hauteur exacte. On dit ici que le temps est continu car il n’y a pas de « trou » entre deux valeurs consécutives, quel qu’il soit l’espacement sur l’échelle du temps.

Maintenant, si on revient à l’image avec les cas de Covid, on a une observation par jour. Avec ces données on ne peut pas savoir combien de cas il y avait un jour à 6 hrs du matin ou à 15 hrs. On dit que le temps est discret, car il ne peut pas prendre n’importe quelle valeur, il y a des « trous » entre chaque valeur acceptable. Comme pour les chardons, on a le nombre chaque année, pas jour par jour, ni minute par minute, etc.

Comme pour le temps, l’espace aussi peut être discret ou continu. On parle d’espace continu quand le phénomène qu’on observe peut avoir lieu n’importe où sur notre zone d’étude. Si on étudie les courants dans l’Océan Atlantique, on peut avoir une mesure de courant n’importe où.

Par contre si on étudie la reproduction des cocotiers d’un archipel polynésien, les cocotiers ne peuvent pousser que sur les îles. L’espace marine entre les îles ne fait pas partie de l’espace du phénomène. On dit alors que l’espace est discret.

Il nous reste une troisième possibilité, et c’est celle de pas d’espace du tout. Au fait, la courbe du Covid pour la France fait une référence, lointaine, à un espace. Mais nous ne prenons pas du tout en compte l’endroit où les cas ont lieu. On sait seulement dans quel territoire le phénomène a lieu, mais son espace n’est ni discret ni continu.

Les familles de modèles dynamiques

On a maintenant tout ce qu’il faut pour aborder le tableau suivant, qui donne les familles de modèles dynamiques selon ces critères d’espace et de temps.

On va laisser de côté la plupart de ces termes barbares et nous allons donc aborder l’équation intégro-différentielle, en sachant qu’on va traiter des phénomènes discrets dans le temps, dans un espace continu (nos chardons, par exemple). Et aussi que nous sommes en présence d’un type de modèle dynamique.

Les bases du modèle

Il est toujours intéressant de connaître la genèse d’un modèle. Chaque modèle a été « inventé » pour répondre à un type de problème. Une fois développé et rodé on peut l’appliquer à d’autres problématiques, souvent très différentes de celles d’origine.

Les modèles intégro-différentiels (IDE) ont leur origine dans la problématique de décrire le cycle de vie des plantes annuelles ou des insectes.

Au début d’une saison les graines germent, les plants se développent, fleurissent et produisent des graines. Durant toute cette période, les plantes ne se déplacent pas. A la fin de la saison, les graines sont dispersées par le vent et les oiseaux. Les plants meurent et les graines restent en terre en attendant la saison prochaine.

De même, beaucoup d’insectes éclosent au début de la saison, et passent par leur état larvaire et poupe et deviennent adultes. Les adultes s’envolent et vont déposer leurs œufs pour la prochaine génération, puis meurent.

Quelque chose de commun pour ces deux cycles de vie c’est la séparation entre les deux phases, celle de croissance où les déplacements sont négligeables, et celle de dispersion dans laquelle la croissance est nulle. Un autre élément important est le synchronisme des phases au sein de la population où la quasi-totalité des individus se trouve au même stade simultanément.

Une dernière caractéristique est la non-superposition des générations. Chaque génération est totalement séparée de la précédente dans le temps.

Voilà des cas types pour lesquels la modélisation intégro-différentielle a été conçue.

Comme tout modèle mathématique, IDE est représenté par une formule mathématique. Nous allons suivre le chemin opposé à celui adopté dans la littérature. On ne va pas commencer par la formule pour essayer de la comprendre après. On va commencer par comprendre la démarche et après lui affecter une formule.

Nous avons vu dans nos deux exemples (plante et insecte) que nous avons deux phases distinctes : une phase de croissance et une phase de dispersion.

La phase de croissance doit être représentée par une formule qui exprime l’idée toute simple que le nombre d’individus au temps t+1 (Nt+1) à un endroit donné découle du nombre d’individus au temps t (Nt) situés à portée du déplacement saisonnier multiplié par un certain facteur. Ou bien, dit d’une autre manière, le nombre d’individus au moment t+1 à un endroit x est fonction du nombre d’individus à la saison précédente t aux endroits y dans le rayon de la phase de dispersion.

Si au lieu de prendre y sur une grande surface, on divise la surface en unités très, très petites, on peut dire plus précisément que le nombre Nt+1 est en réalité fonction du nombre d’individus situés dans les petits morceaux de y qui ont produit les graines ou les œufs arrivés à l’endroit x.

La division en petites zones est ce que l’on appelle la différentielle de y et c’est ce qui est à l’origine d’une partie du nom du modèle intégro-différentiel.

Chaque petite zone dy a un nombre d’individus Nt(y). Seule une partie des graines ou des œufs arriveront à l’endroit x qui nous intéresse.

D’un point de vue mathématique cela s’écrit :

F (Nt(y))dy

A l’endroit x, le nombre d’individus sera le résultat de l’addition de tous les apports des différents endroits y qui auront contribué pendant la phase de dispersion. On aura donc à les additionner ou, d’un point de vue mathématique, à les intégrer sur tout l’espace de notre zone d’étude.

D’où l’autre partie du nom du modèle IDE, intégro-différentiel.

Mais dans ce modèle nous parlons tout le temps de la phase de dispersion, mais pour l’instant, dans notre formule, cette dispersion n’apparaît pas.

Pendant la phase de dispersion, un individu se déplace d’un endroit vers un autre avec une certaine probabilité. Le résultat de ce processus peut être modélisé simplement par un calcul des probabilités qu’un individu situé à un endroit y au début de la phase de dispersion, se retrouve à un endroit x à la fin de cette phase.

On peut noter cela juste en disant que cette probabilité K dépend de x et y :

K(x,y)

Le terme barbare pour nommer cette fonction est noyau de dispersion, traduction de l’anglais dispersal kernel.

Donc, pour chaque endroit dy on aura une probabilité K(x,y) correspondante. On peut alors écrire l’équation finale du modèle IDE qui nous donne le nombre d’individus à l’endroit x à la période t+1 :

Pour l’instant, ce qu’il nous faut retenir c’est qu’il y a deux parties du modèle à mettre en place quand on effectue la modélisation intégro-différentielle : la recherche de la partie droite de notre formule (F(Nt(y))dy) , c’est-à-dire la fonction de croissance, et la recherche de la partie gauche de notre formule( K(x,y)), c’est-à-dire du noyau de dispersion.

La croissance

La fonction F(Nt(y))  représente la croissance de la population dans nos exemples. Plus généralement, il ne faut pas oublier que ce type de modèle peut s’appliquer à d’autres processus que la dynamique d’une population On appelle cette fonction « fonction de mise à jour ». C’est elle qui modélise la densité de nos mesures, c’est-à-dire la somme de toutes les valeurs observées, à un moment t.

Nous allons rester dans le domaine des dynamiques de populations car les processus sont plus simples à comprendre.

Il y a plusieurs types de fonctions qui décrivent la dynamique d’une population. Nous allons voir quatre exemples principaux.

Croissance linéaire

Le plus simple à mettre en place est celui qui nous dit quel est le taux « per capita » de reproduction. Si un individu au temps t est à l’origine de 3 individus au temps t+1, la fonction qui représente ceci est une droite

R c’est le taux de reproduction per capita et N la densité d’individus au temps t.

Notre formule est des plus simples :

F(N) = RN

Qu’est-ce qu’on peut dire de ce premier modèle ? Déjà une première constatation : si R est plus grand que 1, la population croît d’année en année. Si R est plus petit que 1, la population décline.

On déduit aussi que le coefficient de reproduction est indépendant de la densité de population.

Notre modèle est simple et comme tout modèle simple il peut apparaitre peu réaliste rapidement. Cette simplification peut être valable pour une petite population sur un grand territoire. Mais dès qu’on imagine une population où les individus interagissent les uns avec les autres, où les ressources ne sont pas illimitées, il est clair qu’on ne peut pas imaginer que la population continuera indéfiniment à s’agrandir avec le même rythme.

Croissance avec compétition

Si on considère une croissance non linéaire, une fonction très simple a été utilisée pour calculer le recrutement dans les stocks de poissons. On considère que le nombre per capita de descendants diminue avec la compétition pour les ressources. En d’autres termes, plus la population est importante, moins il y a de descendants par individu.

Cette fonction a le nom de Fonction de croissance de Beverton-Holt. Elle fait varier le coefficient R de notre premier exemple, de manière inversement proportionnelle aux nombres d’individus.

 K est une mesure de la pression de la densité d’individus sur le taux de reproduction.

Voici deux exemples avec K = 1 et K = 3

Plus la valeur de  k augmente, moins la population se reproduit entre deux pas de temps.

Croissance « expansion/récession »

Toujours pour les stocks de poissons, il a été proposé un autre type de fonction, qui envisage aussi une diminution du taux de reproduction avec la densité de population mais cette fois-ci de manière exponentielle. Quand les ressource se font rares, le taux de reproduction diminuera beaucoup plus vite qu’avec la fonction précédente.

On appelle cette fonction Fonction de croissance de Ricker. Elle est formulée ainsi :

F(N) = N exp( R(1-N))

Ce qui donne une courbe de ce type :

Les formules et les graphiques c’est bien, mais, par rapport à la réalité, qu’est-ce qu’elles représentent ?

On a deux populations de poissons. La première présente une certaine hiérarchie entre les individus. Chaque individu possède un certain rang qui lui donne accès aux ressources.

La deuxième population est indifférenciée. Tous les individus ont un accès égal aux ressources.

Notre première population montrera une courbe de croissance de type Beverton-Holt tandis que la deuxième sera de type Ricker. Dans cette deuxième population on observera le phénomène appelé expansion/récession. Quand les ressources augmentent, la population explose, puis, dès que les ressource se font rares, la population s’effondre. On observe le phénomène appelé surcompensation.

Quand les ressources sont distribuées selon le rang des individus, le phénomène de surcompensation n’a pas lieu.

Effet de groupe

La quatrième et dernière fonction que nous verrons est un peu plus compliquée. A certaines occasions, on observe un comportement différent du taux de reproduction. Ce taux peut augmenter, dans une certaine mesure, lorsque la population augmente.

Cette fonction porte le nom d’Effet d’Allee et se traduit par la formule

Contrairement aux fonctions précédentes, celle-ci comporte une condition, la valeur de Ꝩ doit être comprise entre R et 1.

La fonction se présente sous la forme de la courbe rouge suivante :Ꝩ

La ligne verte correspond à la fonction de croissance avec un taux de reproduction de 1. Ce qu’il y a d’important dans cette fonction est que si la population descend en dessous de la valeur marquée par la barre noire, son taux de reproduction est inférieur à 1, et donc la population est condamnée à l’extinction.

En ce qui concerne son application réelle, elle correspond à certains mécanismes comme la chasse en groupe, la possibilité de trouver un partenaire pour se reproduire, ou tout simplement à un comportement de défense en forme de groupe.

Un dernier commentaire concernant le haut de la courbe. Le taux de reproduction passe aussi en dessous de la ligne verte. Les ressources étant plus rares, le nombre de descendants sera inférieur au précédent. Mais la population diminuant, on retrouve à nouveau la ligne verte et un taux plus grand que 1 de reproduction. Dans la partie basse de la courbe, ceci n’est pas possible.

Le noyau de dispersion

Le noyau de dispersion ne décrit pas le processus de dispersion mais résume le résultat de ce processus. Il correspond à la fonction de densité de probabilités de la localisation d’un individu après la phase de dispersion

On a notée cette fonction noyau sous la forme K(x,y). Le x correspond à un endroit donné, après la dispersion, et le y à l’endroit de départ avant la dispersion. Comme ce sont des probabilités, la somme de toutes les possibilités est égale à 1. Si on considère toutes les y possibles, on a deux situations résultantes :

Comme nous l’avons dit juste avant, la somme des probabilités est de 1. Cette situation est vrai quand il n’y a pas de pertes dans la phase de dispersion.

Ou bien

C’est-à-dire que la somme des probabilités est inférieure à 1 à cause d’une perte ou mortalité pendant la phase de dispersion. Prenons un exemple simple, une plante sur une île. Au moment de la dispersion, une partie des graines seront poussées vers la mer. Il y aura donc une perte.

Un autre élément à tenir en compte est que, en formulant ainsi notre dispersion, on considère que celle-ci se produit de la même façon dans toutes les directions. On dit que la dispersion est isotropique.

Nous allons voir ici deux types de fonctions noyau les plus courantes, mais il en existe bien d’autres.

Noyau gaussien

Le plus utilisé des noyaux est le noyaux Gaussien, dit d’une distribution normale. C’est une fonction qui donne les probabilités d’un phénomène aléatoire. Il est caractérisé par le fait d’être centré sur la moyenne des valeurs du phénomène, et d’un paramètre déterminant la dispersion des valeurs, autour de la moyenne, la variance (ơ²).

La fonction se présente sous la forme

Et si pour une obscure raison vous êtes intéressé par sa formule, celle-ci est :

Paradoxalement, ce type de fonction est la plus utilisé dans le domaine des statistiques, et en même temps une des moins intuitives. Quand on dit que cette courbe « exprime la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, aussi égale à la différence entre la moyenne des carrés des valeurs de la variable et le carré de la moyenne » on a tout dit. Il faut un niveau d’abstraction assez élevé pour traduire ceci en termes pratiques.

On peut toutefois dire que la distance parcourue décroît exponentiellement avec le carré de la distance. Côté pratique, on peut dire que les deux tiers des insectes se déplaceront au maximum d’un écart-type (ơ²) ou que les deux tiers des graines retomberont dans un rayon d’un écart-type

Voyons une autre fonction très utilisé pour les noyaux.

Noyau Laplacien.

Dans de nombreuses études on observe une diminution plus lente en fonction de la distance. On modélise cette fonction avec une fonction de Laplace qui présente la forme :

Vous remarquerez que le niveau de probabilités de la moyenne est plus élevé que dans la fonction Gaussienne et qu’on trouvera beaucoup plus d’observations dans la fourchette d’un écart-type.

De même que pour la fonction Gaussienne, la formule de Laplace est :

La figure suivante montre les deux fonctions pour une valeur de ơ²=1

Paradoxalement aussi, même si cette fonction paraît plus compliquée à première vue, elle est plus simple à appliquer dans une étude.

Considérons par exemple un insecte. Cet insecte va se déplacer au hasard, sans aucune corrélation ni biais dans un paysage totalement homogène. On peut considérer de manière simpliste, que la probabilité de s’arrêter et pondre est la même tout au long du temps. Si on calcule la fonction correspondante à un déplacement aléatoire avec probabilité constante de s’arrêter on tombe sur la fonction de Laplace.

Conclusion

Nous avons fait le tour des principales bases qui constituent la modélisation intégro-différentielle. Bien sûr que la réalité peut être beaucoup plus complexe, mais c’est à partir de ces bases que l’on peut se poser la question si ce type de modèle est approprié pour nos données.

Le plus difficile est l’extension par similarité de l’application de ce modèle.  Dans les exemples d’application de ce modèle dans la littérature on voit qu’il est le meilleur modèle pour traiter les données de réflectivité du radar météorologique de Sydney. Quel lien entre nos fameux insectes et plantes et la réflectivité radar ? Pas d’œufs ni de graines dans les nuages, mais si on réfléchit bien, la nébulosité au temps t+1 peut bien être considérée comme résultante de la nébulosité au temps t (le pas de temps entre observations est de 5 minutes) plus un apport des cellules voisines. On a bien notre fonction de croissance et notre noyau de dispersion.

Ceci montre bien l’intérêt qu’on peut porter à cette méthode de modélisation, et justifie, peut-être, l’investissement en temps et les efforts d’appréhender cette technique de modélisation.

Bibliographie pour aller plus loin

Integrodifference Equations in Spatial Ecology . Authors: Lutscher, Frithjof – Springer – Interdisciplinary Applied Mathematics 49 . Pas de version gratuite.

Wikle, C. K., Zammit-Mangion, A., and Cressie, N. (2019), Spatio-Temporal Statistics with R, Boca Raton,FL: Chapman & Hall/CRC. © 2019 Wikle, Zammit-Mangion, Cressie. https://spacetimewithr.org

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