SIG et aide à la décision (2) : le croisement de deux critères flous

Reprenons notre exemple de classement des communes du Finistère en fonction de deux critères : population et superficie.

Le classement d’entités selon un seul critère

Pour établir le nombre flou permettant de classer les communes suivant un seul critère, nous nous sommes appuyés sur notre appréciation de deux qualités : la satisfaction complète du critère (1) ou son insatisfaction complète (0).

fonction d'appartenance des comunes à l'ensemble "communes moyennes"

Mais ce faisant, nous avons généré toute une série de valeurs intermédiaires, comprises entre 0 et 1. Travailler avec des nombres n’est pas facile, mais, surtout, ce n’est pas naturel. Dire qu’une commune satisfait à 0.356 le critère de surface et dire que la surface de la commune est plutôt insatisfaisante, c’est la même chose pour le traitement de classification mais ce n’est pas du tout la même chose pour l’opérateur.

Nous utilisons la plupart du temps une échelle de 5 valeurs de satisfaction : excellent,bon,moyen,médiocre, mauvais. Notre cerveau arrive, des fois, à gérer une échelle de 7 classes, en ajoutant un très bon et un très médiocre. Mais au-delà, ça devient métaphysique.

Nous allons donc nous appuyer sur une classification avec 5 classes pour la suite de notre exemple.

Comme vous avez pu constater, classer les communes selon un seul critère, que ce soit la population ou la superficie, ce n’est pas trop complique à l’aide d’un nombre flou. Mais vous constaterez aussi que cela fait intervenir un aspect subjectif qui n’est pas unique. Autant on aura une seule classification en logique booléenne quand on définit une fourchette, par exemple 2500 à 5000 habitants, autant on pourra avoir des limites basses et hautes différentes selon chaque opérateur pour définir quand c’est absolument exclu que ce soit une commune moyenne. Dans notre exemple on a utilisé 1500 et 7500, mais nous nageons en pleine subjectivité.Pour quelqu’un d’autre ce sera 1500 et 6000, etc.

Nous touchons ici un point essentiel du travail avec la logique floue : il n’y a pas UN résultat possible, il y en a autant que d’acteurs possibles. Et ce n’est pas une question de savoir quel est le VRAI résultat. Ils sont tous vrais car ils correspondent à la vision de chaque acteur concerné.

Le classement d’entités selon deux critères

Une fois effectués les deux classements selon chacun des critères choisis, il vient le moment de classer nos communes selon les deux critères associés: celles qui satisfont totalement les deux critères seront en haut du classement, celles qui ne satisfont pas du tout les deux critères, tout en bas. Et puis celles qui satisfont partiellement un ou l’autre critère seront au milieu.
Mais au milieu où et dans quel ordre?

Oublions les chiffres et utilisons nos cinq classes. Une commune qui satisfait totalement un des deux critères et qui ne satisfait pas du tout l’autre critère, nous allons dire qu’elle satisfait l’ensemble des deux de manière: excellente, bonne, moyenne, médiocre ou mauvaise?

Et bien, ça dépend! Selon l’acteur il pourra prendre n’importe laquelle de ces valeurs. Le but alors ce n’est pas de savoir quelle est la bonne façon de croiser les deux critères, mais de déterminer comment notre acteur réalise ce croisement dans sa tête.

Pour trouver la formule mathématique sous-jacente au raisonnement de notre acteur, il suffit de lui proposer trois croisements

  • Comment classe-t-il une commune qui satisfait totalement le critère population et pas du tout celui de surface?
  • Comment classe-t-il une commune qui satisfait moyennement le critère population et moyennement celui de surface?
  • Comment classe-t-il une commune qui satisfait totalement le critère population et moyennement celui de surface?

Dans notre exemple des communes du Finistère, le classement revient à croiser pour chaque objet (commune) la valeur des deux paramètres à prendre en compte.
La définition de la fonction de croisement se fait par la réponse aux trois cas :

Population Surface Résultat souhaité
3750 (très bon) 1500 (mauvais) moyen
2000 (moyen) 2250 (moyen) moyen
3750 (très bon) 2250 (moyen) Plutôt bon

La traduction mathématique de ces réponses est : R= moyenne(Population,Surface)

L’outil que nous avons développé permet de faire cette opération ainsi que le croisement:

croisement des deux critères avec des réponses moyen-moyen-bon

Le résultat obtenu est le suivant:

croisement flou des deux critères

 

Nous trouvons 20 communes situées dans la fourchette de satisfaction des deux critères 0.8-1.0

Ceci est à comparer avec le résultat en utilisant la logique booléenne (voir article précédent):

communes qui satisfont aux deux critères

 

où nous trouvions que 10 communes satisfaisant les deux critères.

Avec les mêmes données, si l’opérateur entre des réponses différentes dans le tableau :

Population Surface Résultat souhaité
3750 (très bon) 1500 (mauvais) mauvais
2000 (moyen) 2250 (moyen) moyen
3750 (très bon) 2250 (moyen) moyen

La traduction mathématique de ces réponses est : R= minimum(Population,Surface)
Cette fonction correspond à celle utilisée par les outils classiques.

Avec notre outil on rentre les paramètres suivants:

agregation avec les réponses mauvais-moyen-moyen

Et on obtient le résultat de l’application de cette fonction aux données  :

résultat de l'agrégation

Avec ces réponses, on n’obtient maintenant que 15 communes dans la tranche de satisfaction 0.8 – 1.0, contre les 20 trouvées avec les précédentes réponses.

Quelles conclusions tirer?

Les principales conclusions que l’on peut tirer sont :

  • La transformation de chaque critère en fonction floue apporte la notion de nuance dans chaque critère. On ne procède pas par sélection (qui implique rejet et abandon de certains éléments) mais par classement des objets selon chaque critère.
  • Quel que soit le nombre de critères utilisés, à tout moment l’ensemble des objets est présent dans les croisements. Un objet qui est mal classé par un premier croisement peut être « rattrapé » par des croisements ultérieurs.
  • Dans tout classement il y a une partie de subjectivité due à l’opérateur. Cette subjectivité peut être mesurée et modélisée par des fonctions mathématiques simples. Selon l’opérateur décisionnaire) le résultat ne sera pas exactement le même.
  • Dans tous les cas, cette méthode donne des résultats plus riches et plus proches de la réalité des processus de décision. Elle permet aussi de déterminer les différences d’appréciation entre acteurs (différentes méthodes de croisement) et par là même porter la concertation sur la source de divergence plutôt que sur le résultat final discordant.

L’utilisation d’ensembles flous sur des données existantes de SIG permet  un éventail de réponses qui offrent toutes les variations intermédiaires entre celles qui sont complètement satisfaisantes et celles complètement insatisfaisantes. L’utilisateur bénéficie ainsi d’une réponse plus proche de son raisonnement usuel – nuancé- et n’est plus obligé de se restreindre aux seules réponses satisfaisant totalement son critère de sélection.
Une avancée particulière peut être observée dans le cas ùu aucune réponse ne correspond totalement aux critères de sélection : une requête traditionnelle donne 0 résultat tandis que là on obtient les réponses qui s’approchent le plus de ces critères.
La mise en place des mécanismes de la théorie des possibilités dans les outils de requête et d’agrégation de données permet d’introduire les notions d’imprécision et d’incertitude qui interviennent tant au niveau des connaissances que dans les processus de décision. Le système d’information s’adapte ainsi à des informations mal connues ou mal définies : une information peut devenir plus certaine ou plus incertaine au cours du temps tout en  conservant la même valeur de mesure.

Dans le prochain article nous présenterons les deux outils que nous avons développé pour ArcGis pour transformer un attribut en nombre flou et pour effectuer l’agrégation de deux critères flous. Vous pourrez ainsi les télécharger et les utiliser à votre guise.

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