Cet article est la continuation directe de l’article SIG et aide à la décision (5): Bases théoriques (1ère partie)
Exemple d’agrégation.
On considère l’agrégation du critère “bathymétrie” tel qu’il est dans la figure 2 et un autre critère par exemple le substrat qu’on définit selon une échelle granulométrique:
On propose à l’utilisateur d’évaluer trois situations
1) Comment classeriez-vous un site avec 30 m de profondeur et un fond de limons?
oTrès bon o Bon o Assez bon o Médiocre o Très mauvais
2) Comment classeriez-vous un site avec 17 m de profondeur et un fond de sable fin?
oTrès bon o Bon o Assez bon o Médiocre o Très mauvais
3) Comment classeriez-vous un site avec 17 m de profondeur et un fond de limons?
oTrès bon o Bon o Assez bon o Médiocre o Très mauvais
La première question correspond à C1=E et C2= A, c’est à dire qu’il propose une valeur très mauvaise pour le premier critère (30m est au-delà des 25m) et une valeur excellente pour le deuxième critère.
La deuxième question correspond à C1=C2= C, c’est à dire qu’elle propose deux valeurs moyennes pour les deux critères.
La troisième question correspond à C1=C et C2= A, c’est à dire qu’elle propose une valeur moyenne pour le premier critère et une valeur excellente pour le deuxième.
Un utilisateur pourra répondre par exemple:
1) très mauvais (le critère de profondeur semble ici capital),
2) assez bon (une profondeur moyenne et un fond moyen représentent un site moyen)
3) assez bon ( pour cet utilisateur le critère de profondeur est plus important. Malgré le fait que le substrat soit très bon, le fait d’avoir une profondeur moyenne fait considérer le site comme moyen).
On a donc R1=E, R2=C, R3= 0, ce qui correspond à la troisième ligne de la table des opérations d’agrégation où l’on trouve comme opération : min(u,v)
u est la valeur du pixel sur la couche « bathymétrie[0 , 1] », v est la valeur du pixel sur la couche « substrat[0,1], c’est à dire que l’on a classé les pixels avec des valeurs entre 0 et 1 selon les critères définis dans les figures 1 et 3.
L’opération d’agrégation est donc de garder pour chaque pixel la valeur minimum de u et v Ceci correspond dans un logiciel de traitement d’image à la fonction de Overlaying avec création d’une couche composite avec les valeurs minimum des deux couches.
Un autre utilisateur pourra répondre, par exemple :
- très mauvais
- assez bon
- bon
Pour cet utilisateur les critères sont à peu près équivalents à partir d’un certain seuil moyen, ce qui fait que pour la troisième question son évaluation se situe à mi-chemin des deux critères partiels.
On a donc R1=E, R2= C, R3=B, ce qui correspond à la quatrième ligne de la table des opérations d’agrégation où l’on trouve deux opérations possibles: 
ou bien 
.
Si l’on désire affiner le calcul, une quatrième question serait nécessaire pour départager le mode de calcul. Dans la plupart des cas on peut prendre indifféremment l’une ou l’autre car les résultats sont très rapprochés.
2: Critères d’importance inégale
Deux critères ont la même importance si la fonction d’agrégation est symétrique, c’est à dire si la réponse aux trois questions d’évaluation est la même si l’on inverse l’ordre des critères.
Par exemple, pour les critères bathymétrie et substrat on peut construira la première question de deux façons:
a) une bathymétrie totalement incompatible (E) et un substrat complètement compatible (A) si on prend C1=bathymétrie et C2= substrat, ou alors
b) un substrat complètement incompatible (E) et une bathymétrie complètement compatible (A) si on prend C1=substrat et C2= bathymétrie.
Si les deux critères ont la même importance, la réponse à cette question sera la même dans les deux cas. Ce qui apparaîtra au travers de cette réponse c’est la manière subjective d’agrégation des deux critères (conjonction ou disjonction) ou le mécanisme sous-jacent de compromis que le décideur utilise.
Par contre, si un des deux critères a une importance plus grande que l’autre, la symétrie ne se vérifiera pas. Par exemple si la bathymétrie est plus importante aux yeux du décideur que le substrat, il pourra répondre médiocre (D) dans le premier cas et bon (B) dans le deuxième. Dans ce cas, la table d’opérations d’agrégation n’est plus valable.
Le concept d’importance d’un critère par rapport à un autre a été fort peu élucidé jusqu’à présent. Le sens que l’on donne à ce mot est très variable selon les décideurs ou selon les situations.
Contrairement à l’agrégation de critères d’égale importance, pour lesquels on trouve les développements des calculs dans la littérature, il faudra développer une méthode pour traiter l’agrégation de critères d’importance inégale.
Limites du problème.
Il ne faut pas confondre l’importance inégale avec le seuil de discrimination d’un critère.
Par seuil de discrimination on entendra la relation entre l’intervalle correspondant à un critère et le domaine global de variation des valeurs.
Par exemple, si les profondeurs varient entre 0 et 30 m, fixer comme critère le nombre flou (4, 10, 20, 26) est moins sélectif que (11,12,14,15). On observe que, généralement, plus un objectif est jugé important par un décideur, plus il aura tendance à définir des supports et des noyaux étroits et au contraire, moins il juge important un critère plus il aura tendance à établir des bornes éloignées.
Ceci est une manière de traduire une certaine idée d’importance des critères, mais elle reste dans le domaine de ce que nous appelons des critères d’égale importance.
Une autre forme très répandue pour exprimer l’importance inégale des critères est la pondération des objectifs : on affecte un poids à chaque objectif et on intègre ce poids à l’opération d’agrégation.
Cette méthode à l’inconvénient de ne pas pouvoir s’appliquer à autre chose que des nombres, et que l’évaluation, à priori, des poids est problématique.
Enoncé du problème
Comment enrichir la liste des Questions SI, S2, S3 avec le nombre le plus petit de nouvelles questions pour déterminer :
a) si la fonction d’agrégation est symétrique ou non, et par conséquent si on peut utiliser la table d’opérations d’agrégation d’objectifs d’égale importance;
b) si la fonction n’est pas symétrique, quel est le poids relatif de chaque critère C1 et C2?
Solution proposée.
Nous avons S1(E,A), S2(C,C), S3(C,A). On propose d’ajouter S4(A,E), c’est à dire la question symétrique à S1 comportant une proposition totalement compatible avec le critère C1 et une autre totalement incompatible avec le critère C2.
Toutes les réponses formant un doublet S1 ,S4 (AA,BB,CC,DD,EE) renvoient au traitement de critères d’égale importance.
Les doublets (A,E) et (E,A) correspondent à un cas particulier où le poids d’un critère est égal à 0, l’agrégation n’est pas nécessaire car le résultat est égal à C1 dans le cas de (A,E), ou à C2 dans le cas de (E,A).
Pour les autres doublets possibles il est nécessaire de déterminer quelle opération d’agrégation peut-on utiliser, avant de déterminer les poids à appliquer.
Parmi les opérations d’agrégation, min, max et les sommes symétriques ne peuvent s’appliquer que sur des critères symétriques, et donc elles doivent être éliminées d’office.
Parmi les opérations de moyenne, seule la moyenne arithmétique peut donner un résultat différent de 0 dans le cas où l’un des critères est 0 (√xy = 0 et 2xy/(x+y)=0 si x=0 ou y=0).
On retiendra donc la moyenne arithmétique comme opération d’agrégation sous la forme
(Px.x+Py.y)/(Px+Py )
Px et Py étant les poids respectifs des critères C1 et C2.
Dans le cas des doublets (D,B) et (B,D) il est facile de démontrer que les poids doivent être 3 et 1 pour (D,B) et 1 et 3 pour (B.D).
Il n’y a pas d’autres doublets possibles (DC,DA,…) si Px et Py sont constants. Les autres doublets supposent que Px=f(x) et Py =f(y).
On peut conclure que la pondération des objectifs n’est nécessaire que pour un nombre de classes supérieur à trois, et ne peut s’appliquer par exemple à un critère qui serait: bon, moyen, mauvais. Dans ce cas on serait toujours dans le domaine d’une fonction symétrique.
Dans le cas de n=5 , comme c’est le cas de la table 1, seul le facteur de pondération 3 – 1 est utilisable, si l’on se tient à un raisonnement proche de l’attitude d’un décideur.
Téléchargement des bases théoriques
Ce document contient les deux articles sur les bases théoriques du traitement des informations géographiques avec la logique floue.
