Précision,incertitude et altération linéaire des données géographiques (2)

Dans l’article précédent nous avons abordé les différents systèmes de coordonnées géographiques: les coordonnées astronomiques, les coordonnées géocentriques et les coordonnées géodésiques. Voyons maintenant les sources d’erreur possibles.

Distance ellipsoïdale et réelle

Maintenant, voyons un cas pratique. Vous investissez dans un GPS qui permet une précision de 10 cm. Vous cartographiez un réseau qui est long d’un kilomètre. Question: quelle est l’écart entre les positions réelles du premier et du dernier point du réseau?

Il y a deux réponses, selon que vous utilisez les coordonnées géocentriques ou géodésiques. Dans le premier cas, la réponse est: maximum 10 cm. Dans le deuxième, la réponse est: ça dépend de l’endroit, mais c’est forcément plus que 10 cm et vous pouvez avoir la surprise de vous retrouver avec des dizaines de mètres!

Voyons l’explication:

Le point de départ du réseau étant M et le point d’arrivée du réseau M’, vous voyez sur la figure que la distance réelle entre les points est M-M’, que vous pouvez calculer exactement avec des coordonnées géocentriques, et que si vous utilisez les coordonnées géodésiques vous calculez la distance P-P’, nettement différente de la distance réelle. Plus les points sont éloignés, plus la différence sera grande.

Précision ellipsoïdale

Les systèmes géodésiques ont été conçus des siècles avant l’avènement du GPS et des mesures électroniques. Étant donné que la modélisation de l’ellipsoïde est un processus mathématique, il a une précision intrinsèque que l’on ne peut pas dépasser. Cette précision, pour les systèmes géodésiques utilisés de par le monde jusqu’aux années 90, est une précision métrique. Qu’est ce que cela signifie? Qu’une latitude longitude exprimée sur une carte IGN en Lambert 2 NTF, où une position sur une carte marine en Mercator Europe 50, où une en UTM WGS84, a une incertitude d’un mètre due seulement au calcul qui positionne cet endroit sur l’ellipsoïde.

C’est en raison de cette précision, largement suffisante avec les moyens de positionnement anciens, mais inadaptée au positionnement par satellites, que l’on a mis en place de nouveaux systèmes géodésiques plus précis.

C’est la raison de l’abandon en France du système NTF et l’adoption du RGF93.

Nouveaux systèmes géodésiques mondiaux

Il existe donc deux types de systèmes géodésiques:

  • Les systèmes terrestres, initiés avant l’avènement du spatial, appelés également systèmes locaux car mis en place pour une région spécifique ou un pays. Ces systèmes sont les moins précis et leurs réalisations ne sont plus mises à jour. Ils sont, maintenant remplacés par
  • les systèmes spatiaux appelés aussi systèmes mondiaux car ils s’appuient sur des techniques spatiales qui permettent de couvrir la planète entière.

Les systèmes terrestres sont déterminés à partir d’un ellipsoïde de référence, un point fondamental observé astronomiquement et un méridien d’origine. Dans ces systèmes, un point de la surface terrestre est alors repéré par des coordonnées bidimensionnelles (longitude et latitude). Le centre du système peut s’écarter de plusieurs centaines de mètres du centre des masses terrestres.
Les systèmes spatiaux sont déterminés à partir des constantes fondamentales astronomiques et géodésiques. Dans ces systèmes, un point de la surface terrestre est repéré par des coordonnées tridimensionnelles (longitude, latitude et hauteur ellipsoïdale).
L’ellipsoïde IAG GRS 1980 (International Association of Geodesy, Geodetic Reference System 1980) est l’ellipsoïde international défini par l’IERS (International Earth Rotation and Reference System Service). Il est quasiment identique à l’ellipsoïde WGS84 (World Geodetic System 1984) car il ne diffère que d’un dixième de millimètre sur le demi petit axe.

Le RGF93 est la partie française densifiée du système européen ETRS89 (European Terrestrial Reference System pour l’époque 1989,0) qui est lui même la partie européenne du système de référence mondial ITRS89 (International Terrestrial Reference System).
On retiendra que ces trois systèmes sont totalement cohérents et offrent une précision sur les coordonnées de l’ordre de 2 cm.
Ainsi, dans les logiciels SIG, ces trois systèmes peuvent être utilisés sans que cela pose le moindre problème quant à la qualité du géoréférencement.
Le système américain WGS84 est le système de référence du GPS. Il a été calculé à partir de mesures Doppler de précision métrique.
Il est totalement cohérent avec les trois systèmes RGF93, ETRS et ITRS, mais avec une précision métrique. C’est la raison pour laquelle, lors de la transformation de données de l’ancien système français NTF vers le RGF93 ou le WGS84, les coordonnées peuvent différer de quelques décimales.

Projection et altération linéaire

La position la plus précise disponible est donc celle d’un bon GPS. Mais cette mesure se fait en angles (latitude/longitude) et positionne notre points sur une surface tridimensionnelle (l’ellipsoïde).
L’usage des cartes et des représentations planes de notre planète est le plus répandu. On en connaît depuis longtemps les multiples raisons : une carte est plus simple à manipuler qu’un globe, les coordonnées métriques deviennent plus facilement exploitables que des valeurs angulaires souvent exprimées dans le système sexagésimal, et mesurer une distance est plus aisé sur un plan, même si la mesure est entachée d’erreur.

On a donc recours à une projection mathématique pour représenter tout ou partie d’un modèle ellipsoïdal de la surface terrestre, sur un plan.
Étant donné qu’il est impossible de développer rigoureusement une portion de sphère ou d’ellipsoïde sur un plan (aplatissement de la peau d’une orange sur un plan), toutes les projections introduisent des déformations qui altèrent tout ou partie des éléments de la zone à représenter : longueurs, angles ou surfaces. Néanmoins, il est possible, en définissant judicieusement les paramètres de la projection, de minimiser certaines déformations. On définit ainsi trois types de projections :les
projections conformes qui conservent les angles, les projections équivalentes qui conservent les surfaces, ou les projections aphylactiques  qui sont des solutions de compromis compensant au mieux les diverses altérations.

Les projections Lambert et de Mercator utilisées en métropole et dans les
DOM sont des projections conformes.


Aucune projection ne peut conserver toutes les distances. On introduit alors la notion d’altération linéaire pour mesurer l’altération des distances entraînée par les différentes projections.

Altération linéaire = (distance projetée – distance ellipsoïde) / distance ellipsoïde
L’altération linéaire s’exprime en centimètres par kilomètre.
Par exemple, les 4 projections Lambert zone propres à la NTF, avaient été calculées pour que l’altération linéaire soit meilleure que 1 pour 1000, c’est à dire inférieure à 1 mètre par kilomètre.Pour le Lambert 93, l’altération linéaire est de -1 m/km à +3 m/km
L’altération linéaire est locale et variable en chaque point de la carte.

Est-ce que l’altération linéaire est une source d’incertitude pour nos données dans le système d’information? Cela n’est le cas que si nous n’utilisons pas des outils SIG performants. Les principaux logiciels utilisés (ArcGis,QGis,…) permettent de choisir comment mesurer les distances: soit sur le plan projeté, soit sur l’ellipsoïde. Il suffit de choisir la deuxième option pour faire disparaître l’altération linéaire de nos mesures. Par contre, on n’en parle presque jamais du problème posé un peu plus haut, la différence entre les distances calculées sur l’ellipsoïde et les distances réelles, peut-être parce qu’il n’y a pas de solution technique dans les SIG…

Conversion entre systèmes de coordonnées

Comme dit précédemment, la conversion entre systèmes de coordonnées différents est assurée par les logiciels SIG actuels, sans que l’utilisateur n’ait à s’en occuper. Il suffit de s’assurer que la définition du SRC correspond bien à celui utilisé pour la création des données, la projection à la volée prend le relais de l’utilisateur.

Si tout cela est bien pratique, il a l’inconvénient de laisser croire à l’utilisateur que toute transformation de système est neutre et qu’il n’en a pas à s’en soucier.

Pour prouver que ce n’est pas du tout le cas prenons un exemple concret. Nous voulons créer un réseau de catégorie A.

Définition de Classe A : un ouvrage ou tronçon d’ouvrage est rangé dans la classe A si la localisation indiquée par son exploitant s’écarte de la localisation réelle au plus de 40 cm dans le cas où il est rigide, ou au plus de 50 cm dans le cas où il est flexible (ou au plus 80 cm dans le cas d’ouvrages souterrains de génie civil associés à un transport ferroviaire ou guidé, construits avant le 01/01/2011) ;

Nous nous équipons d’un GPS permettant une précision de 10 cm et nous voilà partis sur le terrain.

Nous obtenons une position GPS, en Latitude/Longitude, et qui correspond au système géodésique WGS84. Supposons pour notre exemple que cette position est la suivante:

  • latitude: 45,123456789 °N
  • longitude: 1,123456789 °E

Selon le système de coordonnées projetées que nous choisirons pour travailler, les conséquences sur notre précision ne seront pas les mêmes. Comme nous avons vu plus haut, les « anciens » systèmes terrestres avaient une précision métrique, tandis que les nouveaux systèmes mondiaux se situent entre une précision centimétrique et décimétrique.

Il ne faut pas oublier que, dans une chaîne de traitement, la précision est celle de l’étape la moins précise.

Pour l’instant, notre acquisition GPS a une précision de 10cm.

Si je configure mon système d’information en Lambert 93 RGF93 (ce qui, soit dit en passant, est une obligation pour les données des services publics français depuis le décret de 2000), j’utilise un système de précision au moins équivalente. Mes plans du réseau seront donc dans la norme de la classe A que je m’étais fixée.

Si, par contre, par habitude de mes services, on continue à travailler en Lambert 3 NTF et qu’on préfère garder nos vielles habitudes (et chaînes de traitement), je vais intégrer ces données dans mon système d’information en Lambert 3, quitte à sortir après mon réseau en Lambert 93 s’il le faut.

Voici la comparaison, numérique des deux scénarios:

Voyons d’abord le chemin du bas: les positions GPS sont transformées en coordonnées planes Lambert 93, puis nous les retransformons en coordonnées géographiques. Les deux systèmes ont le même centre de la Terre, et la méthode de transformation a une précision décimétrique. Vous observerez que les latitudes et longitudes de départ et d’arrivée sont identiques. La transformation en Lambert 93 n’a pas affecté les données acquises sur le terrain.

Maintenant, voyons le chemin du haut: les positions GPS sont transformées en coordonnées planes Lambert 3. Les premières sont en WGS84, les deuxièmes en NTF: les centres de la Terre utilisés ne sont pas les mêmes. La méthode de transformation a une précision métrique. Si maintenant nous retransformons les coordonnées Lambert 3 en coordonnées géographiques, le résultat diffère des données en entrée.

Prenons la latitude. Un degré de latitude= 60 milles nautiques=111 120 mètres.

La différence observée entre la latitude de départ et d’arrivée est 45.123456789 – 45.123491593= -0.000034804 °

Ce qui représente une distance de -0.000034804 * 111120 = -3.87 mètres.

Comme nous avons effectué le changement de système géodésique (centre de la Terre) deux fois, l’écart entre notre réseau Lambert 3 et les réseau mesurée par le GPS serait de l’ordre de 1,9 mètres.

Conclusion: nous sommes bien loin de la classe A souhaitée.

Conclusion

Quand on a des contraintes d’exactitude dans notre système d’information géographique il est absolument indispensable d’analyser et d’adapter les chaînes de traitement.

Tout ce que nous avons vu dans cet article et lié seulement à la précision des différentes étapes. Pour ce qui est de l’exactitude, de la justesse ou de la fidélité, ceci est lié à l’équipement et à la méthode de mesure utilisée. Ce que nous avons vu s’applique à une mesure exacte, fidèle et juste. Ce qui signifie de se trouver dans les conditions idéales de mesure. Si ce n’est pas le cas, le résultat sera dégradé.

Comme règle générale, il faut éviter à tout pris les transformations de systèmes de coordonnées qui impliquent un changement de système géodésique.

Et surtout, même si ça peut vous paraître évident (je l’ai déjà entendu tellement de fois), n’oubliez pas que des données qui ont une précision d’un mètre (NTF) ne deviennent pas par magie précises à 10 cm juste en effectuant un changement de système de coordonnées. Les données Lambert zone 1 à 4 NTF, passées en Lambert 93 auront toujours une précision d’un mètre. Ce n’est que dans le cas de notre exemple, où les données sont acquises avec des moyens de précision décimétrique que, transformées en Lambert 93, elles auront une précision décimétrique.

Une fois une donnée créée, sa précision ne peut que diminuer avec les traitements qu’elle subie. Jamais, au grand jamais, sa précision ne pourra être meilleure.

Pour ceux que le sujet intéresse, voici une référence intéressante:

Ashkenazi, V. (1986). Coordinate Systems: How to Get Your Position Very Precise and Completely Wrong. Journal of Navigation, 39(2), 269-278. doi:10.1017/S0373463300000126

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